¿Dónde está la falacia en el argumento que utiliza el Teorema de los números primos?

Question

Estoy leyendo el teorema de los números primos del libro de Ingham. Como aplicación del PNT encontré el siguiente teorema:

Ahora mi duda está en el paso $\frac{\log(y)}{\log(x)}\rightarrow 1$ podemos decir $\log(y)\rightarrow\log(x)$ y si aplico el antilog obtengo $y\rightarrow x$ lo que no es cierto por PNT.

Entonces, ¿dónde está la falacia en mi argumento?

Creo que es porque estamos descuidando $\log\log x$ término, pero no estoy seguro y no soy capaz de encontrar un argumento adecuado.

También estamos aplicando $\log$ en el PNT aunque sea un poco limitado, entonces por qué no podemos aplicar el antilog. ¿Hay alguna condición para aplicar alguna función para este tipo de casos?

Answer 1

La flecha " $\to$ " en $\frac{\log y}{\log x} \to 1$ no es lo mismo que un signo de igualdad ( $=$ ). Significa (ver el "cuando $x \to \infty$ " un par de líneas más arriba) que $$\lim_{x \to \infty} \frac{\log y}{\log x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\log \pi(x)}{\log x} = 1.$$

Usted no puede De ello se deduce que $\log y \to \log x$ simplemente porque esa afirmación no tiene mucho sentido. (Por ejemplo, si se utiliza para significar que $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \log y = \log x$ entonces esto no tiene sentido ya que $x$ es una variable variable (creciente) en el lado izquierdo de la ecuación, y qué valor toma en el lado derecho).

Como ejemplo, considere la afirmación de que $$\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = 1.$$ Esta afirmación es cierta, pero no se puede utilizar $\frac{n+1}{n} \to 1$ para concluir que $n+1 \to n$ ni tampoco se puede restar $n$ de ambas partes para decir que $1 \to 0$ .

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Editar : Veo que hay un margen de confusión, porque en la prueba citada en la pregunta, se parecen para realizar operaciones que parecer están tomando troncos en ambos lados de " $\to$ " y tratarlo como un signo de igualdad, etc. Pero esto no es realmente lo que están haciendo, así que vamos a reescribir la prueba sin el " $\to$ " para que quede claro. Con $y = \pi(x)$ tenemos, por el teorema de los números primos, $$\lim_{x \to \infty} \frac{y \log x}{x} = 1.$$ Ahora, podemos "tomar logaritmos" utilizando el hecho de que $\lim_{x \to \infty} \log g(x) = \log \lim_{x \to \infty} g(x)$ en buenos lugares, lo que es básicamente una consecuencia del hecho de que $\log$ es una función continua: véase regla de la cadena . Así que obtenemos $$\lim_{x \to \infty} \log \frac{y \log x}{x} = \log 1 = 0.$$ Esto es lo mismo que $$\lim_{x\to\infty} (\log y + \log \log x - \log x) = 0$$ Dividiendo todo por $\log x$ (regla del producto), obtenemos $$\lim_{x\to\infty} (\frac{\log y}{\log x} + \frac{\log \log x}{\log x} - \frac{\log x}{\log x}) = 0$$ Ahora usando los hechos $\frac{\log x}{\log x} = 1$ y $\lim_{x \to \infty}\frac{\log \log x}{\log x} = 0$ y $\lim_{x \to \infty}(a(x) + b(x)) = \lim_{x \to \infty} a(x) + \lim_{x\to\infty} b(x)$ cuando todos existen ("regla de la suma"), esto se convierte en $$\lim_{x\to\infty} \frac{\log y}{\log x} = 1$$ Por último, tenemos $$\lim_{x\to\infty} \frac{y\log y}{x} = \lim_{x\to\infty} (\frac{y\log x}{x}\frac{\log y}{\log x}) = \lim_{x\to\infty} \frac{y\log x}{x} \lim_{x\to\infty} \frac{\log y}{\log x} = 1 \cdot 1 = 1$$ ya que ambos límites existen; esta es la "regla del producto" para los límites de nuevo.

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Conclusión: Por defecto, no se pueden realizar libremente operaciones sobre los límites y esperar que funcionen. Hay ciertas cosas que se pueden hacer, pero hay que justificarlas. (Por cierto, tomar el antilog de ambos lados es algo que puede hacer: por ejemplo, de $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\log y}{\log x} = 1$ , tú puede concluir que $\displaystyle \lim_{x\to\infty} e^{\frac{\log y}{\log x}} = e$ . Es que la expresión $\log y \to \log x$ no tiene sentido).

Así que en lugar de preguntar por qué no podemos hacer ciertas cosas, la pregunta correcta es preguntar por qué podemos hacer las operaciones que hacemos, y examinarlas de cerca.

Answer 2

Considere este ejemplo: $${\log(1000x)\over\log x}\to1$$ pero si intentas tu técnica antilog, obtienes $${1000x\over x}\to1$$ lo cual es una tontería. Piensa en lo que ocurre en este sencillo ejemplo y quizá puedas averiguar cuál es la dificultad.

Answer 3

Aquí es donde pequeño $o$ y gran $O$ notación puede aclarar mucho las cosas. Tienes que $$\log y=(1+o(1))\log x.$$ Exponenciando, esto implica que $$y=x^{1+o(1)}.$$ Lo importante es que la función $x^{1+o(1)}$ no converge necesariamente a $1$ - de hecho puede ser bastante grande. Dejemos que $f(x)=\frac{K\log \log x}{ \log x}$ es $o(1)$ y en este caso $$x^{f(x)}=\exp\left(\frac{K\log \log x}{ \log x}\cdot \log x\right)$$ $$=(\log x)^K.$$