La flecha " $\to$ " en $\frac{\log y}{\log x} \to 1$ no es lo mismo que un signo de igualdad ( $=$ ). Significa (ver el "cuando $x \to \infty$ " un par de líneas más arriba) que $$\lim_{x \to \infty} \frac{\log y}{\log x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\log \pi(x)}{\log x} = 1.$$
Usted no puede De ello se deduce que $\log y \to \log x$ simplemente porque esa afirmación no tiene mucho sentido. (Por ejemplo, si se utiliza para significar que $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \log y = \log x$ entonces esto no tiene sentido ya que $x$ es una variable variable (creciente) en el lado izquierdo de la ecuación, y qué valor toma en el lado derecho).
Como ejemplo, considere la afirmación de que $$\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = 1.$$ Esta afirmación es cierta, pero no se puede utilizar $\frac{n+1}{n} \to 1$ para concluir que $n+1 \to n$ ni tampoco se puede restar $n$ de ambas partes para decir que $1 \to 0$ .
Editar : Veo que hay un margen de confusión, porque en la prueba citada en la pregunta, se parecen para realizar operaciones que parecer están tomando troncos en ambos lados de " $\to$ " y tratarlo como un signo de igualdad, etc. Pero esto no es realmente lo que están haciendo, así que vamos a reescribir la prueba sin el " $\to$ " para que quede claro. Con $y = \pi(x)$ tenemos, por el teorema de los números primos, $$\lim_{x \to \infty} \frac{y \log x}{x} = 1.$$ Ahora, podemos "tomar logaritmos" utilizando el hecho de que $\lim_{x \to \infty} \log g(x) = \log \lim_{x \to \infty} g(x)$ en buenos lugares, lo que es básicamente una consecuencia del hecho de que $\log$ es una función continua: véase regla de la cadena . Así que obtenemos $$\lim_{x \to \infty} \log \frac{y \log x}{x} = \log 1 = 0.$$ Esto es lo mismo que $$\lim_{x\to\infty} (\log y + \log \log x - \log x) = 0$$ Dividiendo todo por $\log x$ (regla del producto), obtenemos $$\lim_{x\to\infty} (\frac{\log y}{\log x} + \frac{\log \log x}{\log x} - \frac{\log x}{\log x}) = 0$$ Ahora usando los hechos $\frac{\log x}{\log x} = 1$ y $\lim_{x \to \infty}\frac{\log \log x}{\log x} = 0$ y $\lim_{x \to \infty}(a(x) + b(x)) = \lim_{x \to \infty} a(x) + \lim_{x\to\infty} b(x)$ cuando todos existen ("regla de la suma"), esto se convierte en $$\lim_{x\to\infty} \frac{\log y}{\log x} = 1$$ Por último, tenemos $$\lim_{x\to\infty} \frac{y\log y}{x} = \lim_{x\to\infty} (\frac{y\log x}{x}\frac{\log y}{\log x}) = \lim_{x\to\infty} \frac{y\log x}{x} \lim_{x\to\infty} \frac{\log y}{\log x} = 1 \cdot 1 = 1$$ ya que ambos límites existen; esta es la "regla del producto" para los límites de nuevo.
Conclusión: Por defecto, no se pueden realizar libremente operaciones sobre los límites y esperar que funcionen. Hay ciertas cosas que se pueden hacer, pero hay que justificarlas. (Por cierto, tomar el antilog de ambos lados es algo que puede hacer: por ejemplo, de $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\log y}{\log x} = 1$ , tú puede concluir que $\displaystyle \lim_{x\to\infty} e^{\frac{\log y}{\log x}} = e$ . Es que la expresión $\log y \to \log x$ no tiene sentido).
Así que en lugar de preguntar por qué no podemos hacer ciertas cosas, la pregunta correcta es preguntar por qué podemos hacer las operaciones que hacemos, y examinarlas de cerca.
