Tengo una pregunta tonta sobre los ciclos homólogos en un grafo dirigido, visto como $1$ -complejo CW de dimensiones.
Dejemos que $G$ sea el gráfico con el conjunto de vértices $V=\{a,b,c,d\}$ y bordes $E=\{(a,a), (a,b), (b,c), (b,d), (d,d), (d,c), (c,b), (c,a) \}$ que están orientados, es decir, la arista $(b,d)$ comienza en $b$ y termina en $d$ . Denotamos las trayectorias en $G$ como secuencias de aristas.
Para construir el grupo de homología, tenemos que ver los mapas de frontera $\partial_i$ de la $i$ -simplemente al $i-1$ -simplemente. Como no hay $2$ -el primer grupo de homología es $H_1(G,\mathbb{Z})=ker \partial_1$ , que debería ser $\mathbb{Z}^5$ siendo los generadores $1$ -ciclos $(a,a)$ , $(d,d)$ , $(c,a)(a,b)(b,c)$ , $(c,b)(b,c)$ , $(d,c)(c,b)(b,d)$ .
Dejemos que $\gamma_1=(d,c)(c,b)(b,c)(c,a)(a,a)(a,b)(b,d)$ y $\gamma_2=(d,c)(c,a)(a,a)(a,b)(b,c)(c,b)(b,d)$ Es decir, $\gamma_1$ y $\gamma_2$ son trayectorias cerradas que pasan por las mismas aristas pero en distinto orden. Ambos son elementos de $H_1(G,\mathbb{Z})$ ya que pertenecen a $ker \partial_1$ .
Mi pregunta es: ¿ $\gamma_1$ y $\gamma_2$ pertenecen a la misma clase de homología?
Mi respuesta sería que sí. Intuitivamente porque "rodean los mismos agujeros". Además, me parece que se pueden escribir como la misma combinación lineal de los generadores. ¿Es esto correcto?
Además, si mi intuición es correcta, ¿se puede generalizar esto? Es decir, dadas dos trayectorias cerradas orientadas que pasan por las mismas aristas pero en distinto orden, ¿pertenecen siempre a la misma clase de homología?
