Dominios de holomorfía en el plano complejo

Question

Hay una prueba de Teorema de Mittag-Leffler con una construcción explícita de una función holomorfa con los polos prescritos con orden y residuos prescritos, para un conjunto discreto contable de puntos. No recuerdo la referencia; pero mi recuerdo de mi curso de postgrado es que se define una suma de series y se hacen ciertos ajustes. Nunca fui muy bueno en este tipo de procesos; así que estoy enfrentando un problema con el siguiente ejercicio, que me está molestando desde hace mucho tiempo. He pensado en utilizar Math Overflow con la esperanza de que alguien pueda ayudarme.

Ahora quiero demostrar que todo conjunto abierto en el plano complejo es ahora un dominio de la holomorfía . Tomamos el límite $\partial \Omega$ del conjunto abierto $\Omega$ y tomamos una secuencia densa contable de puntos $z_i$ en $\partial \Omega$ . Si somos capaces de construir una suma en serie con polos en $z_i$ pero de forma que converja de forma absoluta y uniforme en cada conjunto compacto del interior de $\Omega$ Entonces, hemos terminado.

Estaría muy agradecido si alguien puede mostrarme cómo hacer lo anterior.

Answer 1

Dejemos que $\zeta_k$ sea una secuencia densa contable de puntos en la frontera y considere $f(z) = \sum \frac{1}{2^k} \frac{1}{z-\zeta_k}$ . La suma es claramente convergente de manera uniforme en cualquier subconjunto de distancia finita del límite, en particular en cualquier subconjunto compacto del interior.

Answer 2

En lugar de tratar de poner los polos en el límite, elija un subconjunto discreto contable $D = \{z_n\}$ de $\Omega$ cuyo cierre contiene $\partial \Omega$ (primero convénzase de que esto es siempre posible) y luego aplique el teorema de Mittag-Leffler para obtener una función holomorfa $f$ en $\Omega$ tal que $\lim_{n \rightarrow \infty} |f(z_n)| = \infty$ . Entonces demuestre que esto hace lo que usted quiere.

Apéndice : He encontrado una referencia para el resultado de la interpolación que estaba utilizando.

Teorema (Rudin, Análisis real y complejo (Teorema 15.13): Sea $\Omega$ sea un conjunto abierto en el complejo plano y $A$ un subconjunto cerrado y discreto de $\Omega$ . A cada $\alpha \in A$ asociamos un número entero no negativo $m(\alpha)$ y los números complejos $w_{\alpha,i}$ para $0 \leq i \leq m(\alpha)$ . Entonces existe una función holomorfa $f$ en $\Omega$ tal que para todo $\alpha \in A$ y todos $0 \leq i \leq m(\alpha)$ , $f^{(i)}(\alpha) = w_{\alpha,i}$ .

Este teorema -y otras variantes que implican funciones meromórficas- se debe, en efecto, a Gosta Mittag-Leffler y suele llamarse el Juego de adaptadores .