Entender las soluciones de la ecuación de Dirac

Question

En una de las clases que estoy cursando actualmente nos encontramos con la ecuación de Dirac. La solución general fue dada como $$\psi ( x ) = \sum _ { s } \int \frac { d ^ { 3 } \bf { p } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } 2 \omega _ { p } } \left[ a _ { s } ( p ) u ^ { s } ( p ) e ^ { - i p \cdot x } + b _ { s } ^ { * } ( p ) v ^ { s } ( p ) e ^ { + i p \cdot x } \right],$$ donde $$u^{s}(p)=\begin{pmatrix}{\sqrt{\sigma \cdot p} \xi^{s}} \\ {\sqrt{\overline{\sigma} \cdot p} \xi^{s}}\end{pmatrix} \quad\text{and}\quad v ^ { s } ( p ) = \begin{pmatrix} { \sqrt { \sigma \cdot p } \xi ^ { s } } \\ { - \sqrt { \bar { \sigma } \cdot p } \xi ^ { s } } \end{pmatrix}.$$ Tenga en cuenta que hemos definido $\sigma^\mu \equiv (1,\vec{\sigma})$ y $\bar\sigma^\mu \equiv (1,-\vec\sigma)$ y $s\in\{+,-\}$ para $$\xi^+ \equiv \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},~\xi^-\equiv\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}.$$

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Mi problema es que ahora estoy un poco confundido sobre cómo evaluar la expresión $\sqrt{p\cdot\sigma}\xi^s$ . Si he entendido bien, tenemos $p\cdot \sigma = p_\mu\sigma^\mu$ lo que hace que esta expresión sea una matriz. Pero, ¿cómo se supone que voy a tomar la raíz cuadrada ahora? Así que las preguntas se reducen a explicar cómo se puede evaluar la expresión $\sqrt{\sigma \cdot p}\xi^s$ .

algunas notas: En realidad no se dio ninguna prueba de por qué $u^s(p)$ o $v^s(p)$ debe resolver la ecuación de Dirac, sólo una afirmación de que se puede demostrar utilizando la identidad $$(\sigma\cdot p)(\bar\sigma\cdot p)=p^2=m^2.$$ Utilizamos la representación Wely del $\gamma$ -matrices, si esto fuera relevante.

Answer 1

Las expresiones más habituales son $$ u_\alpha = \frac{1}{\sqrt{2E(E+m)}} \left[\matrix{ (E+m)\chi_\alpha \cr ({ \sigma}\cdot {\bf k} )\chi_\alpha}\right], $$ $$ v_\alpha = \frac{1}{\sqrt{2|E|(|E|+m)}} \left[\matrix{ - ({ \sigma}\cdot {\bf k} ) \chi_\alpha \cr (|E|+m)\chi_\alpha}\right]. $$ Como alternativa se puede utilizar la rapidez ${\bf k}= {\bf n}\cosh s $ y escribir $$ u_\alpha= \frac{1}{\sqrt{2m(E+m)}}\left[\matrix{(E+m)\chi_\alpha \cr ({ \sigma}\cdot {\bf k} )\chi_\alpha}\right] =\left[\matrix{\phantom{({\bm \sigma}\cdot {\bf n} )} \cosh (s/2)\chi_\alpha \cr \sinh(s/2) ({ \sigma}\cdot {\bf n} )\chi_\alpha}\right]. $$ La segunda forma de escribir $u_\alpha$ está diseñado para subrayar que el estado propio depende sólo de la geometría del impulso de Lorentz, y no de la masa en reposo $m$ .

He echado un vistazo al capítulo 3 de P&S y explica lo que quiere decir en la ecuación 3.49, cuya segunda línea coincide con mi expresión "alternativamente". Allí también se da la prueba ya que parte de una solución obvia y la potencia. Mi comentario sobre "no ser positivo" fue erróneo porque pensé que $\sigma\cdot {\bf p}$ significa el operador con valor propio $±|{\bf p}|$ en lugar del operador que se escribe igual, pero tiene valores propios positivos $E\pm |{\bf p}|$ . En el segundo $\sigma$ no es el vector trese sino
se refiere a $(1,{\bf \sigma})$ Usted hizo dice esto en su pregunta, pero se me pasó. Perdón por el malentendido.