Quiero demostrar que $$\int \frac {dx}{\sqrt{x^2+a^2}} \;=\; \ln\,\biggl| x+\sqrt{x^2+a^2}\,\biggr| +C$$ y obtengo un resultado ligeramente incorrecto y me pregunto qué estoy haciendo mal.
Dejo que $x = a\tan\theta$ así que $dx=a\sec^2\theta\, d\theta$ de manera que realice las siguientes operaciones, $$\frac aa \int \frac {\sec^2\theta}{\sqrt{\tan^2\theta + 1}}d\theta\;=\; \int \sec\theta\,d\theta$$ Multiplicando el integrando por $1 = \frac {\sec\theta+\tan\theta}{\sec\theta+\tan\theta}$ Me sale $$\int \sec\theta\, d\theta \;=\; \int \frac {\sec^2\theta+\sec\theta\tan\theta}{\sec\theta+\tan\theta} d\theta$$ Entonces dejé que $u=\sec\theta+\tan\theta$ y $du = \sec^2\theta+\sec\theta\tan\theta$ de tal manera que obtenga un $\int \frac 1u du$ integral que da como resultado $$\int \sec\theta \, d\theta \;=\;\ln|\sec\theta+\tan\theta|+C$$ Volver a entrar $x$ términos variables que recibo, $$\int \frac {dx}{\sqrt{x^2+a^2}} \;=\; \ln\,\biggl| \frac 1a \left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)\biggr| +C$$ Me parece que este $\frac 1a$ tiene que estar de acuerdo con la sustitución $x=a\tan\theta$ el lado adyacente al ángulo $\theta$ es de longitud $a$ . Entonces, al sustituir de nuevo a $x$ Me sale $\sec\theta= \frac {x^2+a^2}a$ y $\tan\theta = \frac xa$ . ¿Qué me falta?
