Parametrización donde las líneas de coordenadas son líneas de curvatura

Question

Me piden que demuestre que dada una superficie $S$ y un punto $p\in S$ no esumbilical, entonces existe $U$ abrir en $\mathbb{R}^2$ existe $Y:U\subset \mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}^3$ una parametrización tal que las líneas de coordenadas son líneas de curvatura.

Dejemos que $X:(u,v)\in V\subset \mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^3$ una parametrización y supongamos $X(0,0)=p$ y $p$ un punto no umbilical y $N=\dfrac{X_u \times X_v}{\lVert X_u \times X_v \rvert}$ . Tomo $\alpha:t\in I\longrightarrow \alpha(t)=X(u(t),v(t))\in\mathbb{R}^3$ . Sea $k_1(t),k_2(t)$ las curvaturas principales.

Queremos $dN_{p}(\alpha'(t))=-k_1(t) \alpha'(t)$ .

Supongamos que $dN_{p}=\left( \begin{array}{cc} A & B \\ C & D \\ \end{array} \right)$ con respecto a la base $\{ {X}_u,{X}_v\}$ .

Entonces obtenemos $(Au'+Bv')X_u+(Cu'+Dv')X_v=-k_1(t)u'X_u-k_1(t)v'X_v$ . Porque $\{X_u,X_v\}$ es una base, entonces tenemos el Sistema de Ecuaciones Diferenciales:

$\begin{array}{cccccc} A+k_1(t) & u' & B & v' &=&0 \\ C & u' &D+k_1(t) &v'&=&0 \\\end{array}$

Sabemos que este sistema tiene una solución única $u(t),v(t)$ Así que $\alpha(t)$ es una línea de curvatura.

Definición de $\beta:t\in J\subset \mathbb{R}\longrightarrow \beta(t)=X(\hat{u}(t),\hat{v}(t))\in\mathbb{R}^3$ si queremos que $dN_{p}(\beta'(t))=-k_2(t) \beta'(t)$ obtenemos otro sistema de Ecuaciones Diferenciales que tiene solución.

Así que $\beta(t)$ es otra línea de curvatura.

Configurar $Y$ la parametrización tal que $Y(u(t),0)=\alpha(t), Y(0,v(t))=\beta(t)$ es suficiente.

¿Es correcto?

Answer 1

Sí, para un determinado $ u(t), v(t)$ el $\alpha(t), \beta (t) $ son ambas líneas de curvatura principal ya que las derivadas desaparecen, y las curvaturas normales son máximas y mínimas para estas líneas de curvatura.

Para que esto ocurra los coeficientes diagonales como también los siguientes coeficientes mixtos $ F, (f = M) $ de los coeficientes de la primera y segunda forma fundamental desaparecen.

Por cierto, otra desviación angular de dirección no principal en la superficie $ \psi $ puede ser referenciado a través de $ u', v'$ con la relación de Euler para las curvaturas normales principales como $ k_n = k_1 \cos^2\psi + k_2 \sin^2 \psi. $

EDIT1:

Respecto a Y(t,0)=α(t) e Y(0,t)=β(t) la separación de funciones en un solo variable independiente t.

Al referirnos a un punto de una superficie podemos nunca deshacerse de uno de los parámetros, pero podemos hacerlo constante. Es como olvidar la carretera por la que hemos venido después de girar en una intersección.

Decimos Y(u,v) para cualquier punto referido en la superficie, $Y(u,v1)$ para $v = v1$ = constante o $Y(u1,v)$ para $u = u1$ = otra constante, Y(u,0) para la línea v = 0, Y(0,v) para la línea u = 0. La parametrización Y(u,v) implica que nos referimos a un valor particular del parámetro u= u_1 = constante o v = v_1 = constante.

El siguiente material de libro de texto de la teoría de superficies es relevante para repasar:

( $E,F,G$ primera forma fundamental coeficientes métricos, $ e,f,g = L,M,N $ coeficientes métricos de la segunda forma fundamental). La curvatura normal

$$ k_n =\dfrac {L du^2 + 2 M du dv + N dv^2 }{E du^2 + 2 F du dv + G dv^2} $$

$$ = L (du/ds)^2 + 2 M (du/ds) (dv/ds) + N (dv/ds)^2 $$

Línea de curvaturas

$$ k_n = {(E M-F L) du^2 + (E N-G L) du dv + (F N-G M) dv^2 } $$

Condición necesaria y suficiente para que una línea de curvatura sea paramétrica $$ F =0, M =0 $$

La fórmula de Rodrigue relación necesaria y suficiente:

$$ k_n = - dN(u,v)/dY(u,v) $$

Para derivar Euler $k_n$ fórmula porque $F=0$ ,

$$ \cos\psi = \sqrt {E} (du/ds) \;,\sin\psi =\sqrt {G} (dv/ds) $$

Para una esfera las líneas de curvatura ( meridianos $\theta$ = const y paralelos $\phi $ = constante ) son:

$$ x = a \cos\phi \cos \theta \;; y= a \cos\phi \sin\theta \; ; z = a \sin\phi ; $$

a lo largo de un meridiano $ \phi= \alpha $