$x+x^2e^{-x}$ uniformemente continua en $[0,\infty)$

Question

¿Cómo puedo demostrar que la función $f(x)=x+x^2e^{-x}$ es uniformemente continua en $[0,\infty)$ ,

Si elijo $x,y\in[0,\infty)$ tal que $|x-y|<\delta$ entonces $|x+x^2e^{-x}-y-y^2e^{-y}|\leq ?$ Estoy atascado aquí, por favor, ayuda.

Answer 1

La función $x$ es uniformemente continua en la recta real, y como la suma de funciones uniformemente continuas es uniformemente continua, basta con demostrar que $$f(x)=x^2e^{-x}$$ es uniformemente continua en $[0,\infty)$ . Esta función se comporta muy bien: Es monótono en dos intervalos $[0,M],[M,\infty)$ donde $M$ es el punto donde $f$ alcanza su máximo, pasa a $0$ en $\infty$ y $=0$ en el origen.

Encuentra su máximo y su alcance. ¿Hasta dónde puede $f(x)$ ser de $f(y)$ ? Incluso podemos dar un paso adelante. Encuentre $f'$ . Utilice el MVT para encontrar un fijo constante para la que $$|f(x)-f(y)|\leq C|x-y|$$

para cualquier par $x,y\in \Bbb R_{\geq 0}$ .