Dejemos que $(M^n,g)$ sea una variedad riemanniana orientada con límite $\partial M$ . La orientación en $$ defines an orientation on $ \N - M parcial $. Locally, on the boundary, choose a positively oriented frame field $ \^{e\} ^{n}_{i=1} $ such that $ e_1 =\nu $ is the unit outward normal. Then the frame field $ \^{e\} ^{n}_{i=2} $ positively oriented on $ \N-parcial M $. Let $ \^{omega ^i\} ^{n}_{i=1} $ denote the orthonormal coframe field dual to $ \{e\} ^{n}_{i=1} $. La forma de volumen de es
$$d\mu=\omega^1 \wedge \cdots\wedge\omega^n $$
y la forma de volumen de $\partial M$ es
$$d\sigma=\omega^2 \wedge \cdots\wedge\omega^n $$
Utilizando el teorema de la divergencia, demuestre que en una variedad compacta,
$$\int _{M^n}(u\Delta v-v\Delta u)d\mu=\int_{\partial M^n} (u\frac{\partial v}{\partial \nu }-v\frac{\partial u}{\partial \nu })d\sigma .$$
Teorema de la divergencia :Deja $(M^n,g)$ sea una manifola riemanniana orientada y compacta. Si $X$ es un vector fiela, entonces
$$\int_M div(X)d\mu=\int_{\partial M^n} \langle X, \nu \rangle d\sigma$$
donde $div(X)= \nabla _i X^i.$
