Demuestre que una de las líneas representadas por $ax^2+2hxy+by^2=0$ bisecará el ángulo entre los ejes de coordenadas si $(a+b)^2=4h^2$ .

Question

Demuestre que una de las líneas representadas por $ax^2+2hxy+by^2=0$ bisecará el ángulo entre los ejes de coordenadas si $(a+b)^2=4h^2$ .

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Solución
He calculado las dos líneas representadas por $ax^2+2hxy+by^2=0$ como sigue; aquí. $$ax^2+2hxy+by^2=0$$ Multiplicando por $a$ en ambos lados y añadiendo $h^2y^2$ a ambos lados : $$ax+hy=\pm y\sqrt{h^2-ab}.$$

¿Qué debo hacer ahora?

Answer 1

Si $ax^2+2hxy+by^2=0$ biseca los ejes de coordenadas entonces los puntos $(x,x)$ y $(x,-x)$ pertenecen a estas líneas. Si consideramos $(x,x)$ obtenemos $$ax^2+2hx^2+bx^2=0$$ y si consideramos $(x,-x)$ obtenemos $$ax^2-2hx^2+bx^2=0.$$ Si $x\ne 0$ entonces es $$a+b=\pm 2h\implies (a+b)^2=4h^2.$$

Por el contrario, si $4h^2=(a+b)^2$ entonces, si $2h=a+b$ tenemos $ax^2+2hxy+by^2=(x+y)(ax+by)$ y si $2h=-(a+b)$ tenemos $ax^2+2hxy+by^2=(x-y)(ax+by).$ En cualquier caso, $ax^2+2hxy+by^2=0$ contiene una de las líneas $x+y=0$ o $x-y=0,$ que bisecan el eje de coordenadas.

Answer 2

Creo que este es más fácil de trabajar desde la otra dirección. Si $(a+b)^2 = 4 h^2$ entonces $2 h = \pm (a + b)$ . Así, la ecuación de las líneas se convierte en $$ a x^2 \pm (a + b) xy + b y^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad (ax \pm by)(x \pm y) = 0. $$ Desde $(x \pm y)$ es uno de los factores, la línea $y = \pm x$ será una solución a la ecuación.

Answer 3

Dejemos que $y=mx$ sea la línea requerida. Entonces podemos reescribir el par de líneas dadas como $$bm^2+2hm+a=0$$ .

$$\implies m=\frac{-2h\pm\sqrt{4h^2-4ab}}{2b}$$

$$(a+b)^2=4h^2 \implies 4h^2-4ab=(a-b)^2$$

Sustituyendo el valor de $m$ , $$m=\frac{-\vert a+b\vert\pm\vert a-b\vert}{2b}$$

Para todos los valores de $a,b$ lo anterior siempre dará al menos $1$ o $-1$ .

Answer 4

Bueno... Parece que se pide demostrar que funciona si $(a+b)^2=4h^2$ no si y sólo si...

Por lo tanto, si se sustituye $h$ con $\pm \dfrac{a+b}{2}$ en tu primera ecuación obtienes lo siguiente:

$(x\pm y)(ax\pm by)=0$ , que es su respuesta...

Answer 5

Si una de las líneas de $$ax^2 +2hxy+by^2=0 \tag{1}$$ biseca los ejes de coordenadas, entonces la eqn. de esa línea podría ser $y=x$ O, $y =-x$ . Combinando estas ecuaciones obtenemos $y=\pm x$ y sustituyendo este valor de $y$ en la ecuación (1) obtenemos \begin{eqnarray} ax^2+2hx(\pm x)+by^2=0 \\ ax^2±2hx^2+by^2=0 \\ x^2(a±2h+b)=0 \\ a±2h+b=0 \\ a+b=±2h \end{eqnarray}

También, $(a+b)^2=4h^2$