El siguiente argumento es esencialmente una aplicación de la ruta de la elevación de la propiedad para cubrir los espacios.
Vamos a pensar acerca de $\mathbb{R}P^2$ como el cociente del espacio de obtener por la identificación de antipodal puntos en la esfera de la $S^2$. Es decir, que $x\sim -x$, vamos a $\mathbb{R}P^2=S^2/\sim$ y deje $p\colon S^2\rightarrow\mathbb{R}P^2$ ser el cociente mapa. Deje $z$ ser el punto de partida de $S^2$ $y$ ser el punto de partida de $\mathbb{R}P^2$.
Ahora, considere la posibilidad de un no-trvial bucle $\gamma\colon[0,1]\rightarrow\mathbb{R}P^2$ basado en el punto de $y\in\mathbb{R}P^2$ (por lo $\gamma$ no puede ser homotoped a un constante bucle). Tenga en cuenta que la preimagen de $y$ bajo $p$ es exactamente dos puntos en $S^2$ se $z$$-z$. Si nos levante el bucle de $\gamma$ $S^2$ a través de la elevación $\tilde{p}$, los puntos finales de la levantó path $\tilde{\gamma}\colon[0,1]\rightarrow S^2$ en cualquiera de los dos se a $z$ o$\tilde{\gamma}(0)=z$$\tilde{\gamma}(1)=-z$.
Pero tenga en cuenta que si ambos puntos finales son a $z$, $\tilde{\gamma}$ es un bucle y sabemos que $S^2$ es simplemente conectado de manera tal de un bucle puede ser homotoped a un constante bucle. Tal homotopy induce una similar homotopy en el bucle de $\gamma$ $\gamma$ debe ser trivial. Esto es una contradicción, como nos pidió $\gamma$ a no ser trivial. Por eso,$\tilde{\gamma}(0)=z$$\tilde{\gamma}(1)=-z$.
Ahora, en este caso, el camino de $\tilde{\gamma}$ no puede ser homotoped a un constante bucle sin mover el fijo extremos de la ruta , pero si tenemos en cuenta la elevación de la ruta de $2\gamma$ través $\tilde{p}$, luego la levantó path $\tilde{2\gamma}$ es un bucle en $S^2$. De nuevo, $S^2$ simplemente se conecta y así un bucle puede ser homotoped a un constante bucle y un homotopy induce una similar homotopy en el bucle de $2\gamma$ $2\gamma$ es un loop.
