¿Teorema de Hartog y afinidad?

Question

¿Es cierto lo siguiente? Veo que es cierto para X afín, pero no sé cómo demostrarlo en caso contrario. Sea X un esquema local noetheriano normal de dimensión 2, con un punto cerrado s. Demuestre que $X \setminus \{s\}$ no es afín.

Answer 1

(No estoy seguro de lo que quiere decir con "esquema local", así que lo interpretaré como que $X$ es de dimensión 2 localmente en $s$ .)

Es falso si su esquema no está necesariamente separado: Considere, por ejemplo, el plano con origen doble. Por otro lado, si su esquema es separado, suponga $X\setminus\{s\}$ es afín. Consideremos una vecindad abierta afín $U$ de $s$ Porque la intersección de dos conjuntos afines es afín en un esquema separado, $U \setminus \{s\}$ es afín, y $U$ es afín, por lo que hemos reducido al caso afín.

Para el caso afín: Por el teorema de Hartog, el mapa inducido por la inclusión induce un isomorfismo de secciones globales, y como son afines, la inclusión debe ser un isomorfismo, lo cual es claramente imposible.