Si una serie de potencias formales sobre los números complejos satisface una identidad polinómica, ¿implica que la serie de potencias tiene un radio de convergencia?

Question

Sea $ P(z) $ una serie de potencias $\textit{formal}$ en $z$ que a priori puede no tener un radio de convergencia distinto de cero. Supongamos que $P(0) =0$.

Sea $\Phi(w,z)$ un polinomio en dos variables, que no es idénticamente cero. Supongamos que $\Phi(0,0) =0$. Supongamos que $\textbf{formally}$ tenemos la identidad

$$ \Phi(P(z),z) =0 $$

¿Podemos concluir que $P(z)$ tiene un radio de convergencia distinto de cero?

Todo está por encima de los números complejos $\mathbb{C}$.

Answer 1

La ecuación $\Phi(w,z)=0$ se puede resolver usando la serie Puiseux. Si $\frac{\partial{\Phi}}{\partial{w}}\not\equiv 0$ entonces existen finitamente muchas series formales $f(z)=\sum_{n\geq0}a_nz^{n/p}$ tales que formalmente $\Phi(w,z)=0$. Todas estas series son convergentes. Así que la respuesta a tu pregunta es positiva.

Para la prueba ver cualquier libro titulado "Funciones algebraicas".