Pregunta sobre la variación integral y total de Riemann

Question

Sea $g$ integrable en Riemann el $[a,b]$, $f(x)=\int_a^x g(t)dt $ para $x \in[a,b]$.

¿Puedo mostrar que la variación total de $f$ es igual a $\int_a^b |g(x)| dx $?

Answer 1

Una dirección es bastante fácil, para una partición $a:= x_0 < x_1 < \ldots < b := x_n$, tenemos $$\sum |f(x_{i+1}) - f(x_i)| = \sum |\int_{x_i}^{x_{i+1}} g(t)dt| \leqslant \sum \int_{x_i}^{x_{i+1}} |g(t)|dt = \int_a^b |g(t)|dt$$ Así que la variación total está limitada por encima de esto.