Conjunto de campos vectoriales con una forma particular de conmutador

Question

Tengo un conjunto de campos vectoriales $v_1, \dots, v_n$ . Para cada par de índices $i$ y $j$ el conmutador $[v_i, v_j]$ es lineal en $v_i$ y $v_j$ es decir, hay dos escalares $a$ y $b$ tal que: $$ [v_i, v_j] = a v_i + b v_j $$

Aquí, por "escalar", quiero decir que $a$ y $b$ son funciones del lugar, es decir, dependen de la posición. No son constantes en todo el colector.

Si no me equivoco, ésta no es una propiedad general de los campos vectoriales. ¿Tiene algún nombre? ¿Se conocen propiedades de dicho conjunto?

Puedo añadir que el $v_i$ son tantos como la dimensión del espacio; además, son linealmente independientes punto a punto. ¿Existen otras propiedades en este caso?

Answer 1

Suponiendo que se trata de campos vectoriales en alguna variedad suave $M$ y abarcan una subálgebra de Lie de dimensión finita $\mathfrak g\subseteq \mathfrak X(M)$ (donde $\mathfrak X(M)$ es el álgebra de Lie de todos los campos vectoriales suaves en $M$ ). Bajo la condición de que todos los campos vectoriales de esta subálgebra son completos (es decir, sus flujos existen para todo el tiempo), existe un grupo de Lie simplemente conectado $G$ cuya álgebra de Lie es isomorfa a $\mathfrak g$ y una acción correcta de $G$ en $M$ para lo cual $\mathfrak g$ es el generador infinitesimal. Esto es esencialmente el Teorema 20.16 de mi Introducción a los colectores suaves (2ª ed.). (Véase también el problema 10-14.)

EDITAR: La OP ha aclarado ahora que los coeficientes $a$ y $b$ se supone que son escalares funciones no son constantes, por lo que mi respuesta no es relevante. Aparte del punto mencionado por Ted Shifrin de que cada par de campos vectoriales determina una foliación por superficies, no sé qué más se puede decir en general.