Tengo un problema en el que me dicen que se deja caer un saco de 50 kg de arena desde 10 metros de altura, y hay que calcular la diferencia de entropía de la arena, suponiendo que el calor específico de la arena es tan alto que su temperatura (298K) no cambia. Mi resultado es 16,5 J/K, y mi problema es el signo. El libro no da una explicación sino sólo una respuesta y es positiva, pero estoy pensando que en el impacto el calor debe fluir fuera de la arena, ya que está perdiendo su energía cinética, por lo que la entropía disminuiría, y la entropía de los alrededores aumentaría; ¿qué me estoy perdiendo, o qué está pasando realmente aquí?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
En realidad, el saco de arena va a transferir energía mediante el arrastre al aire, el trabajo sobre el suelo durante el impacto (abollando el suelo), y la transferencia de calor al suelo, etc., pero voy a suponer que tu libro de texto quiere que el problema sea sencillo. Así pues, consideremos que el saco de arena cae al suelo y se detiene, no tiene arrastre en el aire ni transferencia de energía al suelo.
Por lo tanto, al detenerse sin transferencia de energía al aire o al suelo, toda la energía potencial debe convertirse en energía interna de la arena. Si consideramos que el saco de arena es un sistema termodinámico homogéneo, su estado interno cambia según la ecuación de Gibbs \begin{align*} TdS = dU+PdV-\mu dN \end{align*} No hay cambios en la composición ni en el volumen ( $dV=0, dN=0$ ). Eso es lo que queda, \begin{align*} \int_{initial}^{final}dS = \int_{initial}^{final}\frac{dU}{T} \end{align*} La arena no es el gas ideal. Así que técnicamente pueden producirse cambios en la energía interna sin que cambie la temperatura. Pero independientemente de este hecho, también se puede decir que el calor específico es alto el cambio de temperatura es despreciable y sacar la temperatura de la integral, \begin{align*} \Delta S = \frac{\Delta U}{T} \end{align*} Todo este cambio de entropía será positivo (entropía generada por la disipación interna de energía potencial a energía interna en las moléculas que componen la arena). Supongo que esto debería dar lugar a una respuesta numérica. Si no es así, quizá nos estemos perdiendo algo que no veo.
Mark Rovetta
Puntos
2721
Si el saco de arena cae e impacta contra el suelo sin realizar ningún trabajo ni intercambiar calor con el entorno, el sistema está aislado termodinámicamente. La energía libre de Helmholtz de este sistema es:
\begin{align*} A = U-TS \end{align*}
Tomando el diferencial
\begin{align*} dA = dU-TdS-SdT \end{align*}
Es una condición del problema que la temperatura se mantenga constante y así $dT=0$ . Para cualquier espontáneo cambio en el estado del sistema, sabemos también que $dA\leq0$ debe ser cierto después del impacto. Entonces, sustituyendo estos
\begin{align*} 0\geq dU-TdS \end{align*}
Después de reordenar e integrar
\begin{align*} \Delta S\geq \frac{\Delta U}{T} \end{align*}
El cambio en la energía interna se debe tanto a la pérdida de energía potencial gravitatoria como a los posibles cambios añadidos debidos a la creación de defectos cristalinos o fracturas en los granos de arena.
\begin{align*} \Delta U = mgh+\Delta U_{fractures} \end{align*}
Por ejemplo, $\Delta U_{fractures}$ sería distinto de cero si las fracturas liberaran energía de deformación residual que estuviera encerrada dentro de las redes de granos de arena cristalina. Si no se liberara ninguna energía de deformación residual, entonces 16,5 J/K sería el mínimo cambio de entropía posible (impulsado únicamente por el cambio de energía potencial gravitatoria).
Hay varias maneras de que la entropía adicional se manifieste en la bolsa de arena sin aumentar la temperatura. La entropía sería entonces latente en lugar de sensible .
Por ejemplo, 16,5 J/K es un cambio muy pequeño en la entropía de un saco de 50 kg de arena de sílice. La entropía específica a granel (J/(gK)) de un cristal de sílice es menor que la entropía específica de la superficie de un cristal de sílice (J/Kcm^2). Si el impacto pulveriza la arena en polvo de un tamaño de grano medio más pequeño, esto aumentaría la superficie de la arena, y aumentaría ligeramente la entropía de la arena en el saco.
Otra posibilidad, si se trata de una bolsa de húmedo arena, es que el impacto podría hacer que parte de la sílice se disolviera en el fluido de los poros. La entropía de mezcla de un soluto en la solución es siempre positiva.
