¿Cómo se puede saber rápidamente que el producto de grupos cíclicos $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_3$ tiene un subgrupo de 2 que contiene un elemento de orden 4? Además, no entiendo la noción de multiplicar grupos así. Si un producto cartesiano es un par ordenado, ¿es este producto el grupo de todos los pares ordenados de subgrupos cíclicos de $\mathbb{Z}_4$ y $\mathbb{Z}_3$ ? ¿Hay que escribir manualmente todos los elementos del producto para ver que hay un subgrupo de 2 que contiene un elemento de orden 4, o hay un método más rápido además de memorizarlo?
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rekle
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Lema: Sea $\mathbb Z_n$ sea un grupo cíclico de orden $n$ . Entonces $\mathbb Z_n\times \mathbb Z_m \cong \mathbb Z_{nm}$ donde $(m,n)=1$ .
Por el lema anterior, se puede ver $\mathbb Z_3\times \mathbb Z_4 \cong \mathbb Z_{12}$ . Desde $\mathbb Z_{12}$ es cíclico, hay exactamente una $2$ -es isomorfo a $\mathbb Z_4$ . Por lo tanto, el elemento de orden $4$ está contenida en el $2$ -Subgrupo bajo.
Las cosas se complican un poco más si se analizan de forma más general. Si se escriben grupos con identidad igual a $1$ entonces $G \times H$ siempre tiene un subgrupo isomorfo a $G$ formado por los elementos de la forma $(g,1)$ en el producto. También deberías ser capaz de encontrar un grupo isomorfo a $H$ .
En su grupo, también hay un elemento $z$ de orden $12$ (que puede ser o no obvio para usted). Si lo sabe, entonces $z^3$ tiene orden $4$ .
