Problema del análisis funcional (convergencia débil)

Question

Quiero plantear un problema de análisis funcional, dice:

Tiene una secuencia de $\{f_{n}\}\in L^{1}(\Omega)\cap L^{\infty}(\Omega)$ y sabes que $\parallel f_{n}\parallel_{L^{1}(\Omega)} \le C$ (C es una constante real) y $\{f_{n}\}\rightharpoonup f \in L^{\infty} weak^{*}$ . Demostrar que $f\in L^{1}(\Omega)$ y $\parallel f\parallel_{L^{1}(\Omega)}\le C$ .

No sé cómo demostrarlo.

Answer 1

En primer lugar, me imagino que no es cierto si $\Omega$ no es $\sigma$ -finito. De hecho, no me queda claro que en general $L^{\infty}(\Omega )$ tiene un predual, en cuyo caso no tendría sentido hablar de débil- $^*$ convergencia. (Dicho esto, no me esforcé demasiado en encontrar un ejemplo de un espacio de medidas para el que fuera fácil demostrar que $L^{\infty}(\Omega )$ no tenía un predual). Sin embargo, si $\Omega$ es $\sigma$ -finito, entonces $L^1(\Omega )^*\cong L^{\infty}(\Omega )$ canónicamente.

Así que, toma $\Omega$ para ser $\sigma$ -finito, y escribir $\Omega =\bigcup _{m\in \mathbb{N}}\Omega _m$ para $\Omega _m\subseteq \Omega _{m+1}$ y $\mu (\Omega _m)<\infty$ .

Ahora, intenta utilizar el hecho de que para $g\in L^1(\Omega )$ , $$ \| g\| _1=\sup \left\{ \left| \int _{\Omega}gh\right| :\| h\| _{\infty}\leq 1\right\} . $$ (En general, si $V$ es un espacio vectorial normado y $v\in V$ entonces $\| v\| =\sup \left\{ |\phi (v)|:\phi \in V^*,\| \phi \| \leq 1\right\}$ .)

En primer lugar, hay que tener en cuenta que en realidad $$ \| g\| _1=\sup \left\{ \left| \int _{\Omega}gh\right| :h\in L^1\cap L^{\infty},\| h\| _{\infty}\leq 1\right\} , $$ ya que si $g\in L^1$ y $h\in L^{\infty}$ entonces hay una secuencia $m\mapsto h_m\in L^1\cap L^{\infty}$ tal que $\lim _m\int fh_m=\int fg$ (a saber $h_m:=\chi _{\Omega _m}g$ ). De hecho, esta igualdad se mantiene incluso en el caso $\| g\| _1=\infty$ (nótese que en este caso si sólo tomamos $h\in L^{\infty}$ y no $h\in L^1\cap L^{\infty}$ , $\int gh$ no es necesario definirlo), ya que en este caso, sin pérdida de generalidad $\int g_+=\infty$ (para simplificar, estoy tomando $g$ sea de valor real), en cuyo caso podemos el supremum es al menos tan grande como $|\int g\chi _{\Omega _m}\chi _{\{ x\in \Omega :g(x)\geq 0\}}|=\int _{\Omega _m}g_+$ que es divergente.

Ahora, para $h\in L^1\cap L^{\infty}$ con $\| h\| _{\infty}\leq 1$ , $$ \left| \int fh\right| =\left| \lim _m\int f_mh\right| =\lim _m\left| \int f_mh\right| \leq \liminf _m\int |f_mh|\leq \| h\| _{\infty}\liminf _m\int |f_m|\leq C. $$ Tomando el supremum sobre todos esos $h$ obtenemos $\| f\| _1\leq C$ .

ACTUALIZACIÓN : A continuación proporciono más detalles para la prueba de que $\| g\| _1=\sup \left\{ \left| \int _{\Omega}gh\right| :h\in L^1\cap L^{\infty},\| h\| _{\infty}\leq 1\right\}$ .

En primer lugar, supongamos que $\| g\| _1<\infty$ . Desde $\| g\| _1=\sup \left\{ \left| \int _{\Omega}gh\right| :\| h\| _{\infty}\leq 1\right\}$ Tenemos de inmediato que $\| g\| _1$ es un límite superior de $\left\{ \left| \int _{\Omega}gh\right| :h\in L^1\cap L^{\infty},\| h\| _{\infty}\leq 1\right\}$ . Para demostrar que es el menos límite superior, dejemos que $\varepsilon >0$ . Escoge $h\in L^{\infty}$ con $\| h\| _{\infty}\leq 1$ y $$ \| g\| _1-\varepsilon <\left| \int _{\Omega}gh\right| \leq \| g\| _1. $$ La secuencia $m\mapsto \chi _{\Omega _m}gh$ está entonces (esencialmente) limitada por la función integrable $g$ y converge puntualmente a $gh$ y por tanto por el Teorema de Convergencia Dominada, $\int _{\Omega}gh=\lim _m\int _{\Omega}gh\chi _{\Omega _m}$ . En particular, hay algunos $M\in \mathbb{N}$ tal que $$ \left| \int _{\Omega}gh\right| -\left| \int _{\Omega}gh\chi _{\Omega _m}\right| \leq \left| \left| \int _{\Omega}gh\chi _{\Omega _m}\right| -\left| \int _{\Omega}gh\right| \right| \leq \left| \int _{\Omega}gh\chi _{\Omega _m}-\int _{\Omega}gh\right| <\varepsilon $$ para todos $m\geq M$ . Pero entonces, $$ \| g\| _1-2\varepsilon <\left| \int _{\Omega}gh\right|+\left( \left| \int _{\Omega}gh\chi _{\Omega _M}\right| -\left| \int _{\Omega}gh\right| \right) =\int _{\Omega}gh\chi _{\Omega _M}\leq \| g\| _1. $$ Pero $h\chi _{\Omega _M}$ está en $L^1\cap L^{\infty}$ (y $\| h\chi _{\Omega_M}\| _{\infty}\leq 1$ ), dándonos $\| g\| _1=\sup \left\{ \left| \int _{\Omega}gh\right| :h\in L^1\cap L^{\infty},\| h\| _{\infty}\leq 1\right\}$ , según se desee.

Supongamos ahora que $\| g\| _1=\infty$ . Sin pérdida de generalidad, supongamos que $\| \Re (g)_+\| _1=\infty$ (aquí, para cualquier función de valor real $h$ Estoy escribiendo $h_+$ para la función que es igual a $h$ cuando $h\geq 0$ e igual a $0$ en caso contrario). Para condensar la notación, escribamos $P:=\{ x\in \Omega :[\Re (g)](x)\geq 0\}$ . Entonces, $\chi _{\Omega _m}\chi _P\in L^1\cap L^{\infty}$ (y por supuesto $\| \chi _{\Omega _m}\chi _P\| _{\infty}\leq 1$ ), y así $$ \sup \left\{ \left| \int _{\Omega}gh\right| :h\in L^1\cap L^{\infty},\| h\| _{\infty}\leq 1\right\} \geq \left| \int _{\Omega}g\chi _{\Omega _m}\chi _P\right| \geq \int _{\Omega}\chi _{\Omega _m}\Re (g)_+. $$ Tomando el límite con respecto a $m$ vemos que $\sup \left\{ \left| \int _{\Omega}gh\right| :h\in L^1\cap L^{\infty},\| h\| _{\infty}\leq 1\right\} =\infty =\| g\| _1$ , según se desee.