¿Cómo se resuelve $x^2 = \left(\frac 12\right)^x $ ?

Question

Tengo problemas para encontrar los pasos para resolver $x$ . Las soluciones de esta ecuación son $x=-4$ , $x=-2$ y $x=0.76666$ cuando se resuelve gráficamente y a través de la función de resolución de un TI-nspire cx CAS.

Intenté aislar $x$ utilizando varias reglas de registro y potencia, pero el resultado seguía siendo algo que no sabía cómo resolver.

$$x^2 = \left(\frac 12\right)^x $$

$$\log x^2=\log\left(\frac12\right)^x$$

$$2\log x=x\log\left(\frac12\right)$$

$${\log x \over x}={\log \frac12 \over 2}$$

También he probado lo siguiente:

$$x^2 = \left(\frac 12\right)^x $$

$$x^2 = {1^x \over 2^x} $$

$1^n=1$ para todos los reales $n$

$$x^2={1 \over 2^x} $$

$$x=\sqrt {1 \over 2^x} ={1 \over \sqrt {2^x}}={1 \over [2^x]^{1/2}}= {1 \over 2^{x/2}}$$

¿Cómo se hace esto?

Answer 1

Una pista: $$x^2=\left(\frac{1}{2}\right)^x\implies x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^x}\implies x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{........}}}}}$$

Answer 2

Puede utilizar Lambert $W$ la inversa de $x\mapsto xe^x$ : $$\begin{align} x^2 &=\frac{1}{2^x}\\ x^22^x &=1\\ x^2e^{x\ln(2)} &=1\\ xe^{x\ln(2)/2} &=\pm1\\ x\ln(2)/2 e^{x\ln(2)/2} &=\pm\ln(2)/2\\ W\left( x\ln(2)/2 e^{x\ln(2)/2}\right) &=W\left(\pm\ln(2)/2\right)\\ x\ln(2)/2 &=W\left(\pm\ln(2)/2\right)\\ x &=\frac{2W\left(\pm\ln(2)/2\right)}{\ln(2)}\\ x &\approx0.766664\ldots,-2,\text{ or }{-4} \end{align}$$

En la última línea hay tres resultados, en primer lugar debido a la $\pm$ en la entrada de $W$ y en segundo lugar debido a la segunda rama de $W$ que admite pequeñas entradas negativas.

Answer 3

Te olvidas de que $x$ también puede ser menor que $0$ . Considere la función $$ f(x)=\log(x^2)+x\log2=2\log|x|+x\log2 $$ (logaritmo natural), definido para $x\ne0$ .

Podemos calcular fácilmente los límites correspondientes: $$ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty, \quad \lim_{x\to0^-}f(x)=-\infty, \quad \lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty, \quad \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty $$ También tenemos $$ f'(x)=\frac{2}{x}+\log2 $$ que es positivo para $x>0$ . La función tiene un máximo local en $-2/\log2$ y $$ f(-2/\log2)=2\log\frac{2}{\log2}-\frac{1}{\log2}>0 $$ Así, la ecuación $f(x)=0$ tiene tres soluciones, dos en el intervalo $(-\infty,0)$ (que obviamente son $-4$ y $-2$ ) y uno en el intervalo $(0,\infty)$ .

Desde $f(1)=\log2>0$ y $f(1/2)=-\frac{3}{2}\log2<0$ , sabemos que esta solución está en $(1/2,1)$ .

Puede intentar una iteración, estableciendo $x_0=1$ y $x_{n+1}=(1/2)^{x_n/2}$ \begin {align} x_0&=1 \\ x_1&=0.70710678118654752441 \\ x_2&=0.78265402735568027271 \\ x_3&=0.76242798854892438203 \\ x_4&=0.76779124029202027521 \\ x_5&=0.76636542509760295727 \end {align} y así sucesivamente; esto parece converger bastante rápido.

No hay otra forma de expresar la solución que utilizar el truco de la función de Lambert, u otros similares.

Answer 4

CONSEJO: Una solución clara es $x=-2$ y hay otro en el intervalo abierto $]0,1[$ que se puede intentar aproximar de varias maneras (no hay métodos elementales para obtener directamente la solución porque es lo que algunos llaman una ecuación trascendental).

Answer 5

La solución positiva única se puede encontrar con cualquier nivel de precisión mediante la recursión en la relación $x=2^{-\frac{x}{2}}$ dejando $x_1=1$ . Entonces \begin {ecuación} x_2=2^{- \frac {1}{2}} \approx 0.707106781 \end {Ecuación} \begin {ecuación} x_3=2^{- \frac {x_2}{2}} \approx 0.782654027 \end {ecuación} hasta llegar a \begin {ecuación} x_{19}=2^{- \frac {x_{18}}{2}} \approx 0.766664696 \end {Ecuación} Para $N\ge19$ con una precisión de 9 decimales, $x_N\approx 0.766664696$ .