¿La condición extraña implica un isomorfismo entre espacios vectoriales?

Question

Dejemos que $U$ y $V$ sean espacios vectoriales. Se puede demostrar que la existencia de al menos un espacio $W$ tal que $\mathscr L(U,W) \cong \mathscr L(V,W)$ no es suficiente para $U$ y $V$ sean isomorfas como, por ejemplo, si consideramos $\mathbb R[X]$ como el espacio de todos los polinomios reales, es cierto que $End(\mathbb R[x]) \cong \mathscr L(\mathbb R,\mathbb R[X])$ aunque obviamente no es isomorfo a $\mathbb R$ . Mi pregunta es: Si reforzamos la condición y exigimos que para CUALQUIER espacio vectorial $W$ tenemos que $\mathscr L(U,W) \cong \mathscr L(V,W)$ ¿Implica eso que $U \cong V$ ? Esta es una restricción mucho más poderosa y por eso puedo imaginar que la proposición se mantendría, especialmente porque parece casi imposible pensar en algún posible contraejemplo a esto. Lo que parece plausible es intentar extraer algún argumento sobre la cardinalidad de la base de $U$ y $V$ pero no me queda del todo claro cómo hacerlo.

Answer 1

Este es un ejemplo del "lema de Yoneda". es un principio general que dice que $HOM(X,-)$ (o $Hom(-,X)$ ) es siempre una inyección de cualquier categoría a la categoría de conjuntos.Así que si hay isomorfismo functorial entre $Hom(U,W)=Hom(V,W)$ para cada $W$ entonces $U,V$ son isomorfismos (functorial significa que los isomorfismos son compatibles con los mapas $W\to W'$ )

para la prueba basta con tomar $W=V,U$ se obtiene un mapa $U\to V$ y un mapa en sentido inverso (tomando la imagen inversa de la identidad) y la funtorialidad dice que estos morfismos son inversos entre sí