Sea $k$ un campo algebraicamente cerrado y sea $X$ una curva proyectiva no singular.
Notaciones
Llamamos $X_h : = X\setminus V(h)$ para cualquier polinomio homogéneo $h$.
Una función $f:X\longrightarrow k$ se llama regular en $p\in X$ si existen dos polinomios homogéneos $F,G$ del mismo grado tales que $p\in X_G$ y, para cada $q\in X_G$ tenemos que $f(q)=F(q)/G(q)$.
Sea $U_f$ el conjunto de puntos de $X$ en los cuales $f$ es regular según la definición anterior. Es directo que $U_f$ es abierto en $X$.
- Si $U_f$ es denso, llamamos a $f$ racional;
- si $U_f=X$ llamamos a $f$ regular.
Un mapa $\phi: X\subseteq \mathbb{P}^m \dashrightarrow Y\subseteq \mathbb{P}^n$ definido en un conjunto abierto $V_{\phi}$ entre variedades cuasiproyectivas se llama $racional$ si para cada $p\in V_{\phi}$ existen polinomios homogéneos $F_0,\ldots ,F_n$ tal que $p\in X_{F_0}\cup\ldots\cup X_{F_n}$ y para cada $q\in X_{F_0}\cup\ldots\cup X_{F_n}$ tenemos que $\phi(q)=[F_0(q):\ldots :F_n(q)]$.
Los hechos
Quiero demostrar que cada función racional $f\in k(X)$ induce un morfismo (es decir, un mapeo regular) $\phi : X\longrightarrow \mathbb{P}^1_k$.
Podemos poner $\phi (p)=[1:f(p)]$ si $p\in U_f:=\{q\in X\mid f$ es regular en $p\}$ y $\phi(p)=[0:1]$ si $p\notin U_f$. De hecho, no puedo demostrar adecuadamente que $\phi$ es regular. Quiero mostrar que para cada $p\in X$ existen dos polinomios homogéneos $F,G$ del mismo grado tales que $p\in X_G\cup X_F$ y para cada $q\in X_F\cup X_G$ tenemos que $\phi(q)=[G(q):F(q)]$.
Sea $p\in U_f$; entonces, por la racionalidad de $f$ tenemos dos polinomios homogéneos $F,G$ del mismo grado tales que $p\in X_G$ y, para cada $q\in X_G$ tenemos que $f(q)=F(q)/G(q)$. En esta situación puedo demostrar que $$\phi(q)=[G(q):F(q)]$$ para cada $q\in X_G$ ¿pero cómo puedo demostrar esto cuando $q\in X_F\setminus X_G$??
Edición
Me han dicho que $X_F\cap U_f\subseteq X_G$ (*) así que en este caso $X_F\setminus X_G$ no contiene puntos en los cuales $f$ es regular, por lo tanto para cada $q\in X_F\setminus X_G$ tenemos $$\phi(q)=[0:1]=[G(q):F(q)]$$ Otro problema surge de los puntos $p\in X\setminus U_f$ ¿Sé que $X\setminus U_f = X\cap V(h_1,\ldots ,h_s)$ para algunos polinomios, pero solo eso. Empecé a pensar en elegir $h=\mathrm{gcd}(h_1,\ldots,h_s)$ así que si $p\in X\setminus U_f$ tenemos $p\in V(h)$. Si ponemos $p=[a_0:\ldots :a_n]$ en coordenadas homogéneas, hay un $j$ tal que $a_j\neq 0$. Así que ponemos $l=X_j^{\mathrm{deg}\,h}$. Con estas elecciones, tenemos $p\in X_l\subseteq X_l\cup X_h$ y debemos demostrar que para cada $q\in X_l\cup X_h$ se cumple que $\phi(q)=[h(q):l(q)]$.
Esto es algo molesto, porque
- si $q\in X_l\setminus X_h$ entonces $q\in X\setminus X_h = V(h)\cap X\subseteq V(h_1,\ldots,,h_s)\cap X = X\setminus U_f$. Por lo tanto, $$\phi(q) = [0:1]=[h(q):l(q)]$$ y hemos terminado;
- si $q\in X_h$ no tengo idea de lo que podría suceder. Parece bastante lógico que $V(h)=V(h_1,\ldots,h_s)$ pero esto llevaría a la desagradable idea de que $$q\in X_h=X\setminus (X\cap V(h))=X\setminus (X\cap V(h_1,\ldots,h_s))=X\setminus(X\setminus U_f)=U_f$$ . Esto es desagradable porque $\phi(q)\neq [0:1]$ y no veo cómo hacer que $\phi(q)=[h(q):l(q)]$.
2da. Edición
Logré demostrar la parte (*), es decir que para cada variedad cuasiproyectiva $X$ y para cada función racional $f\in k(X)$ con una expresión local $F/G$, tenemos $U_f\cap (X_F\setminus X_G)=\varnothing $ donde $U_f$ es el lugar regular de $f$. Esto es realmente sencillo: si $p\in U_f\cap (X_F\setminus X_G)$ el hecho de que $G(p)=0$ pero $p$ es un punto regular significa que debemos encontrar otra expresión local, es decir, dos polinomios homogéneos $M,N$ del mismo grado tales que $N(p)\neq 0$ y $f=M/N$ sobre $X_N$; por hipótesis también tenemos $G(p)=0$ y $F(p)\neq 0$. Pero dos expresiones locales deben satisfacer $MG=FN$ y al evaluar en $p$ obtenemos $0\neq F(p)=M(p)G(p)/N(p)=0$ lo cual es contradictorio.
Entonces lo único que falta por demostrar es la parte citada arriba.
