Compruebe si $\det(I + S) = 1 + \operatorname{trace}(S)$ ¿tiene?

Question

He visto el siguiente enunciado en mis deberes y se nos pide que hagamos uso de él:

Si $S$ es una matriz simétrica, entonces

$$\det(I + S ) = 1 + \operatorname{trace}(S).$$

Sin embargo, no estoy seguro de que esto sea realmente cierto. Por favor, échenme una mano

Answer 1

Esta afirmación es falsa : toma $S = I$ por ejemplo. Nos daría $2^n = 1 + n$ .

Answer 2

Qué es cierto es que la expansión de los polinomios característicos viene dada por las trazas de potencias de la matriz $A$ ; explícitamente, el polinomio característico $\chi_A(T)=\det(T\cdot{\rm Id}-A)$ viene dada por

$$T^n-{\rm tr}(A)T^{n-1}+\frac{{\rm tr}(A)^2-{\rm tr}(A^2)}{2}T^{n-2}-\frac{{\rm tr}(A)^3-3{\rm tr}(A){\rm tr}(A^2)+2{\rm tr}(A^3)}{6}T^{n-3}+\cdots $$

siendo el último término $(-1)^n\det A$ . Esto no depende de $A$ ser simétrico o cualquier otra cosa y así $\det(1+A)=(-1)^n\chi_A(-1)\approx (-1)^n[(-1)^n-{\rm tr}(A)(-1)^{n-1}]=1+{\rm tr}(A)$ es en cierto sentido un aproximación de primer orden (fijamos $T=-1$ y truncamos nuestra expansión en sólo dos términos).

Esto también puede verse de forma más sencilla como en la respuesta de Alex: si $\{\lambda_i\}$ son los valores propios de $A$ con multiplicidad, entonces $I+A$ tiene valores propios $\{\lambda_i+1\}$ con multiplicidad, y $$\det(1+A)=\prod_{i=1}^n(1+\lambda_i)=1+\left(\sum_{i=1}^n\lambda_i\right)+{\rm higher~order~terms}\approx 1+{\rm tr}(A).$$

He estado asumiendo $A$ es un $n\times n$ pero el campo subyacente es arbitrario.

En $\chi_A(T)$ es posible gracias al teorema fundamental de los polinomios simétricos y, en particular, puede calcularse manualmente de forma recursiva mediante la función Fórmulas NG (véase esta sección ).

Answer 3

Esto es falso. Por la (dimensión finita) teorema espectral toda matriz simétrica es diagonalizable, por lo que podemos escribir $S=QDQ^{-1}$ . Así pues, tenemos $$\det(I+S)=\det(Q^{-1}(I+S)Q)=\det(I+D)=\prod\limits_{i=1}^n (1+d_i)\\\ne 1+\sum\limits_{i=1}^n d_i=1+\mathrm{trace}(D)=1+\mathrm{trace}(S).$$ Tal vez la fórmula $\prod\limits_{i=1}^n (1+d_i)$ sin embargo, puede ser útil.

Answer 4

Si la matriz también es real, basta con comprobarlo sobre diagonal matrices. Pero no se cumple en dimensión $\geqslant 2$ porque si $S:=\pmatrix{1&0\\0& a}$ , $\det(I+S)=2(a+1)$ y $1+\operatorname{Tr}(S)=2+a$

Answer 5

Se mantiene si $S$ es de rango $1$ . Un caso sencillo es cuando $S=a\cdot b^T$ donde $a$ y $b$ son vectores columna.