¿El tensor de curvatura de Ricci positivo en un marco ortonormal implica un tensor de curvatura de Ricci positivo?

Question

Dejemos que $(M,g)$ sea una variedad riemanniana y $Ric$ su curvatura de Ricci. Sea $\{e_1,\cdots, e_n\}$ sea un marco ortonormal específico y en este marco tenemos $$Ric(e_i,e_i)>0\quad \forall i=1,...,n$$

Mi pregunta es

¿Implica esta condición un tensor de curvatura de Ricci positivo? $Ric(X,X)>0$ para todo campo vectorial $X$ ?

Answer 1

En realidad se trata de una pregunta de álgebra lineal: sabes que la diagonal de una matriz simétrica es positiva y quieres saber si esa matriz es definida positivamente. La respuesta es no: consideremos por ejemplo $$ \mathrm{Ric}(e_i,e_j) = \left[\begin{matrix} 1 & -2 \\ -2 & 1 \end{matrix}\right]_{ij},$$ que tiene $$\mathrm{Ric}(e_1+e_2, e_1+e_2) = -2 .$$