¿No es un subespacio, sino que está cerrado bajo la adición y bajo la toma de inversiones aditivas?

Question

Mi libro de álgebra lineal ( Álgebra lineal bien hecha de Sheldon Axler) tiene el siguiente problema como ejercicio 1.6:

Dé un ejemplo de subconjunto no vacío $U$ de $\mathbb{R}^2$ tal que $U$ es cerrado bajo la adición y bajo la toma de inversos aditivos (es decir $-u \in U$ siempre que $u \in U$ ), pero $U$ no es un subespacio de $\mathbb{R}^2$ .

Me parece que ese conjunto no puede existir, ya que la única condición del subespacio que no está obligado a cumplir es que contenga $0$ y para cualquier $u \in U$ Puedo negarlo para obtener $-u$ y luego obtener $u + (-u) = 0$ .

¿Qué está pasando?

Answer 1

Sugerencia: Considere todos los pares ordenados $(a,b)$ donde $a$ y $b$ son enteros . O, un poco más simple, todos los pares ordenados $(a,0)$ donde $a$ se extiende sobre los números enteros.