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intersección de conjuntos abiertos infinitos

https://math.hws.edu/eck/metric-spaces/open-and-closed-sets.html

Consulte el ejercicio 1.4 en el enlace anterior.

Consideremos el espacio métrico $(\mathbb{R}, d)$ . Para $n=$ 1,2,3... deja $\mathcal{O}_n$ sea el conjunto abierto $(1, 1+1/n)$

Demuestre que { $\mathcal{O}_n | n=1,2,3...$ } es una colección infinita de conjuntos abiertos cuya intersección no es abierta.

Creo que la intersección de los conjuntos anteriores debe ser el conjunto vacío, que es el conjunto abierto. Entonces, ¿por qué la intersección no es abierta?

3voto

dmay Puntos 415

Tienes razón (dos veces): la intersección es vacía y el conjunto vacío es un conjunto abierto.

La afirmación sería correcta si $\mathcal O_n=\left(1-\frac1n,1+\frac1n\right)$ desde entonces $\bigcap_{n\in\Bbb N}\mathcal O_n=\{1\}$ .

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