Criterio de irreductibilidad polinomio Perron

Question

Los hechos antes de la pregunta:

$\textbf{Fact 1:}$ Deje $F(X) = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1X+a_0\in \mathbb{Z}[X]$,$a_0\neq 0$.

Si $|a_{n-1}|>1+|a_{n-2}| + \cdots +|a_1| + |a_0|$, $F$ irrreducible en $\mathbb{Z}[X]$.

$\textbf{Fact 2:}$ Deje $K$ ser un campo, $F(X,Y)=a_n(X)Y^n + \cdots + a_1(X)Y + a_0\in K[X,Y]$, con $a_o,\ldots,a_{n-1}\in K[X]$, $a_n \in K$ y $a_0a_n\neq 0$.

Si $\deg(a_{n-1})>\max\bigl(\{\deg(a_0), \deg(a_1), \ldots, \deg(a_{n-2})\}\bigr)$, $F$ es irreducible sobre $K[X]$.

Hechos aquí.

$\textbf{Conjecture:}$ Deje $F(X) = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1X+a_0\in \mathbb{Z}[X]$,$a_0\neq 0$.

Si $|a_{n-1}|>|a_n|+|a_{n-2}| + \cdots +|a_1| + |a_0|$, $F$ irrreducible en $\mathbb{Z}[X]$.

Es la anterior conjetura verdadera? Yo no sé nada acerca de la multivariable polinomios, así que estoy buscando una respuesta de si o no, y, en caso de que sea falso, puede usted por favor proporcione un contraejemplo?

Answer 1

Pruebe esto para el polinomio $2X^2 + 5X + 2$.

Answer 2

No debe haber un valor absoluto $a_n$ allí. El polinomio debe ser monic.