Resuelve la siguiente ecuación diferencial simétrica

Question

Hace poco me encontré con una ecuación diferencial que es la siguiente:

$\frac{d^3y}{dx^3} + x^3 \frac{d^2y}{dx^2} + 3x^2 \frac{dy}{dx} + 6xy + 6 = 0 $

No pude resolverla porque no nos enseñaron a resolver ecuaciones diferenciales de órdenes superiores.

Mis esfuerzos: Mirando he encontrado la información de la ecuación diferencial simétrica que es como sigue:

$\frac{d^3y}{dx^3} + t \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dt}{dx} \frac{dy}{dx} + \frac{d^2t}{dx^2}y + \frac{d^3t}{dx^3} = 0 $ donde $t$ es una función de $x$ . Entonces tenemos que resolverlo.

¿Cómo se resuelven estas sumas? ¿Existe un método general? Como no conozco el método, se agradecerán algunos consejos.

Answer 1

Que yo sepa no hay ninguna relación especial para la forma que presentas que nos permita resolverla. Sin embargo si la ecuación general que presentas fuera ligeramente diferente (es la misma forma que tú pero con un $t(x)$ y con los factores de $3$ - también mi $t(x)$ es su $t'(x)$ )

$$t(x) y'''(x) + 3 t'(x) y''(x) + 3 t''(x) y'(x) + y(x) t'''(x) + t''''(x) = 0$$

entonces por el regla de Leibniz generalizada podríamos escribirlo como

$$\frac{d^3}{dx^3}[t(x) y(x) + t'(x)] = 0 \implies y(x) = \frac{a+bx+cx^2 - t'(x)}{t(x)}$$

Para $t(x) = \frac{x^4}{4}$ obtenemos algo que se parece bastante a su ecuación

$$\frac{x^4}{4} y'''(x) + 3x^3 y''(x) + 9 x^2 y'(x) + 6 x y(x) + 6 = 0$$

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Sin embargo, esta "cercanía" no ayuda mucho a resolver la ecuación real que has obtenido y probablemente no sea posible encontrar una solución de forma cerrada (es decir, una fórmula sencilla para la solución). Una comprobación de esto mediante un software matemático confirma esta sospecha. Sin embargo, dado que cada prefactor de la $y^{(n)}$ términos son polinomios esta ecuación diferencial es muy adecuada para aplicar el Método de Frobenius para derivar la solución en forma de serie de potencia infinita.

Para derivar la solución ponemos $y(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ . Insertando esto en la ecuación diferencial obtendremos una expresión de la forma $A + A_1x + A_2 x^2 + \ldots = 0$ donde $A_i$ son algunas combinaciones del $a_i$ 's. Esta ecuación sólo se cumple si $A_i \equiv 0$ para todos $i$ . Esto conduce a una relación de recursión para los coeficientes $a_i$ que puede utilizar para determinar $a_i$ en términos de $a_0,a_1,a_2$ (probablemente sea posible obtener una fórmula explícita para $a_i$ en términos de $i$ y $a_0,a_1,a_2$ con algo de trabajo). La solución que da este inicio es la siguiente

$$y(x) = a_0\left(1 - \frac{x^4}{4} + \frac{5 x^8}{224} + \ldots\right) + a_1\left(x -\frac{3x^5}{20} +\frac{41x^9}{3360} + \ldots \right) + a_2\left(x^2 -\frac{7x^6}{60} + \frac{7x^{10}}{800} + \ldots\right) + \left(-x^3 + \frac{x^7}{10} + \ldots\right)$$ donde las constantes libres están relacionadas con las condiciones iniciales como sigue: $a_0 = y(0)$ , $a_1 = y'(0)$ y $a_2 = 2y''(0)$ .