Calcular el volumen determinado por el paraboloide $4z=x^2+y^2$ y los aviones $z=1$ y $z= \dfrac{1}{2}$ . También $y≤x$ .

Question

Calcular el volumen determinado por el paraboloide $4z=x^2+y^2$ y los aviones $z=1$ y $z= \dfrac{1}{2}$ . También $yx$ .

Hice un cambio de variable: $x=r\cos \theta $ y $y=r\sin \theta$ entonces $z=\dfrac{r}{2}$ con $\dfrac{1}{4}r\dfrac{1}{2}$ y aquí está mi primera duda: ¿es $\theta$ pasando de $\dfrac{- \pi}{4}$ a $\dfrac{\pi}{4}$ Porque si tengo dos círculos en el $xy$ plano centrado en $(0,0)$ y trazo la línea $y = x$ entonces los valores de $x$ menor o igual a $y$ son barridos por el ángulo que va desde $\dfrac{- \pi}{4}$ a $\dfrac{\pi}{4}$ .

Por último, me gustaría consultar qué intergral debo utilizar para obtener este volumen y si se puede obtener sólo mediante una integral triple. Porque he visto casos en los que un volumen se obtiene mediante una integral doble y no entiendo cómo es posible y cuándo puedo hacerlo.

Agradezco toda la ayuda.

Answer 1

El cambio a coordenadas polares le da $z=\frac{r^2}4$ pero eso no es lo que necesitas. El volumen se puede calcular mediante $$ \int_{1/2}^1\iint_D 1\,dA\,dz, $$ donde $D$ es el disco de radio $2\sqrt z$ . La restricción $y\leq x$ puede lograrse en $\theta$ es el medio plano por debajo de la línea $y=x$ : por lo que se da haciendo $\theta$ correr de $\frac{3\pi}2-\frac\pi4=\frac{5\pi}4=-\frac{3\pi}4$ a $\frac\pi4$ . Así que su volumen es $$ \int_{1/2}^1\iint_D 1\,dA\,dz =\pi\,\int_{1/2}^1\int_0^{2\sqrt z}r\,dr\,dz=\pi\,\int_{1/2}^12z\,dz=\frac{3\pi}4. $$ Se puede calcular un volumen mediante una integral triple si se integra la función $1$ o por una integral doble si integras la diferencia entre el "techo" y el "suelo". La misma que una integral de una variable se puede utilizar (trivialmente) para calcular una longitud si integras la función $1$ o para calcular el área entre dos curvas si se integra su diferencia.