Si $X$ es integrable entonces $\mathbb{E}[\sqrt{a_0 + a_1X^2}]$ es finito

Question

Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria integrable sin momento de orden 2.

Dejemos que $a_0$ y $a_1$ sean dos escalares positivos. Quiero demostrar que $\mathbb{E}[\sqrt{a_0 + a_1X^2}] < \infty$

Traté de usar Jensen o $\sqrt{x} < 1 + x$ pero para ello tengo que asumir que $\mathbb{E}[X^2] < \infty$ que no es el caso.

Answer 1

Tenga en cuenta que $\sqrt{a_1}|X|\le\sqrt{a_0+a_1X^2}$ implica $E|X|<\infty$ es una condición necesaria. Que también es suficiente se deduce de $0\le\sqrt{a_0+a_1X^2}\le\sqrt{a_0}+\sqrt{a_1}|X|$ .