Demostrar que $H \cap K = H$ donde $H$ y $K$ son subgrupos de un grupo cíclico

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo cíclico de orden $n, (20<n<30)$ generado por $a$ tal que $H$ y $K$ son subgrupos de $G$ de orden $2$ y $4$ respectivamente. Demostrar que $H \cap K = H$ .

Lo que sé hasta ahora:

• El orden de $G$ es divisible por $ord(H)$ y $ord(K)$ , por lo que obtenemos que $n=24$ o $n=28$ .

• $G$ es cíclico, por lo que $G$ es un grupo abeliano, lo que significa que los subgrupos $H$ y $G$ son subgrupos normales.

• $\mid H \cap K \mid \ge 1$ ya que todo subgrupo de $G$ contiene el elemento de identidad de $G$ .

• $\mid H \cap K \mid \le 2$ ya que $\mid H \cap K \mid \le \min\{ \mid H \mid,\mid K \mid \}$ .

• Todo subgrupo de un grupo cíclico es un grupo cíclico, por lo que utilizando Función totiente de Euler obtenemos que el número de generadores en $H$ y $K$ son $1$ y $2$ respectivamente.

No veo cómo conectar todas esas conclusiones, probablemente me estoy perdiendo algo básico aquí.

Nota: No he aprendido Homomorfismo e isomorfismo de grupos todavía (en clase, eso sí).

Por favor, absténgase de dar una solución a la pregunta, sino que ayúdeme dándome pistas y críticas, ya que me ayudará a mejorar. Gracias de antemano.

Answer 1

Pista: demuestre que un grupo cíclico sólo puede tener un único elemento (y por tanto un único subgrupo) de orden $2$ .

Más generalmente, para cualquier grupo cíclico finito $G$ para cualquier pedido $d\mid |G|$ hay exactamente un subgrupo de $G$ con orden $d$ .

Answer 2

Dado que usted ya sabe que $n = 24$ o $n = 28$ se pueden escribir estos dos grupos de forma muy explícita (por ejemplo, como números enteros módulo $n$ ) y, a continuación, elija un bolígrafo rojo y un bolígrafo verde (y, si lo necesita, también uno azul) y marque con un círculo los elementos de los posibles subgrupos que podrían desempeñar los papeles de $H$ y $K$ . A continuación, comprueba que la respuesta es válida en todos los casos posibles.

Ahora bien, esta es, por supuesto, una respuesta aburrida que no le ayudará mucho a resolver el problema similar con $200 < n < 300$ o $2000 < n < 3000$ EXCEPTO que cuando lo hagas realmente notarás algo extraordinario: NO NECESITARÁS TU BOLÍGRAFO AZUL. Ahora (por supuesto) esto no viene como una sorpresa después de que acabo de decir que va a suceder, mientras que por otra parte antes de que la otra excelente respuesta de Arthur ya le dijo lo mismo.

La razón por la que te cuento esto de todos modos es por la lección "más profunda" que hay debajo:

A menudo es bueno empezar a resolver problemas de la forma estúpida, aburrida y no informativa de la fuerza bruta, siempre que mantengas los ojos abiertos a cualquier cosa notable que ocurra mientras lo haces. A menudo, estas agradables sorpresas te mostrarán el camino hacia una solución más elegante, general y deseable, pero con la misma frecuencia no habrías encontrado la solución más deseable si sólo trataras de "idearla", en lugar de probar primero la versión aburrida.

Brian Hayes plantea un punto similar de una manera muy agradable aquí Por supuesto, los demás niños de la clase de Gauss, de 8 años de edad, no vieron su ingeniosa forma de sumar los números del 1 al 100, pero si hubieran empezado a hacerlo habrían encontrado algún atajo (algo menos) ingenioso por el camino.