¿Hay una serie de alternancia que cumple sólo una de las condiciones de la prueba de la serie alterna que sin embargo convergen?

Question

Hace poco estuve ayudando a un colegio de matemáticas de estudiantes con su tarea. Su maestro había ofrecido un extra de crédito a la pregunta: Encontrar alterna dos series de $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}a_n$ tal que $a_{n+1} \leq a_n$ todos los $n$, pero $\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$. Una de las series deberían converger, y el otro debe divergir.

Una divergente la serie fue fácil de encontrar: $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \left(1+\frac{1}{n}\right)$. Estoy teniendo un tiempo mucho más difícil viene con una serie convergente, sin embargo. De hecho, sospecho que no hay uno.

De manera informal (como ya han pasado muchos años desde que yo mismo he estudiado este tema):

Desde $\lim_{n\to\infty}a_n \neq 0$, a continuación, diverge o converge a algún otro número. Desde que la serie es positivo y monótono nonincreasing, no puede divergir. Deje $L$ ser el número positivo que converge. Entonces el extraño términos de la alternancia de la serie converge a $L$ desde arriba, y los términos convergen a $-L$ de los de abajo. Cada término de la secuencia de sumas parciales, a continuación, difiere de la anterior legislatura por, al menos,$2L$, por lo que la serie no converge.

Así que... ¿ el maestro ofrecemos un problema imposible a propósito, o hay un error en mi razonamiento?

Answer 1

Observe que ($\sum a_n$ converge) $\Longrightarrow$ ($\lim a_n=0$). El contrapositive a veces se llama el test de divergencia: ($\lim a_n\ne 0$) $\Longrightarrow$ ($\sum a_n$ diverge).

Así que de hecho, la serie que buscas no existe.

Answer 2

Responder a la pregunta en el título: sí (pero no la manera indicada en el cuerpo).

Hay un montón de ejemplos de secuencias nonmonotonic $(a_n)$ de números positivos que $\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^na_n$ converge. Por ejemplo, este se sostiene cuando $\sum\limits_{n=0}^\infty a_n$ converge. Un ejemplo sería $a_{2n}=\dfrac{1}{(n+1)^2}$, $a_{2n+1}=\dfrac{1}{(n+1)^3}$.