Encuentra el límite cuando x se acerca al infinito

Question

$$\lim_{x\to \infty} {\cosh^{-1}(x^{3}) + \coth^{-1}(\sqrt{x^{2}+1}) - 3\sinh^{-1}(x)}$$

Sinceramente, no sé cómo enfocar esto. Conozco las fórmulas logarítmicas para las funciones hiperbólicas inversas, pero eso me da una expresión muy complicada. ¿Hay alguna identidad que pueda utilizar o alguna regla? Cualquier consejo es bienvenido.

Gracias.

Answer 1

Podemos utilizar directamente la expresión de las funciones hiperbólicas inversas, es decir \begin{align} \sinh^{-1}x &= \log(x + \sqrt{x^{2} + 1})\notag\\ \cosh^{-1}x &= \log(x + \sqrt{x^{2} - 1})\notag\\ \coth^{-1}x &= \frac{1}{2}\log\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right)\notag \end{align} De lo anterior se desprende que $\coth^{-1}x \to 0$ como $x \to \infty$ . Por la misma lógica se deduce que $\coth^{-1}\sqrt{x^{2} + 1} \to 0$ por lo que debemos considerar únicamente el primer y el último término de la expresión dada en cuestión. Es evidente que tenemos \begin{align} \cosh^{-1}x^{3} - 3\sinh^{-1}x &= \log(x^{3} + \sqrt{x^{6} - 1}) - 3\log(x + \sqrt{x^{2} + 1})\notag\\ &= \log\left(\frac{x^{3} + \sqrt{x^{6} - 1}}{(x + \sqrt{x^{2} + 1})^{3}}\right)\notag\\ &= \log\left(\frac{1 + \sqrt{1 - 1/x^{6}}}{(1 + \sqrt{1 + 1/x^{2}})^{3}}\right)\notag\\ &\to \log 1 = 0\notag \end{align} El límite deseado es $0$ .