Área del cuadrilátero cíclico

Question

• Dejemos que $ABCD$ sea un cuadrilátero inscrito en una circunferencia de diámetro $AC$ y que $E$ sea el pie de la perpendicular de $D$ en $AB$ . Si $AD=DC$ y el área del cuadrilátero $ABCD$ es $24$ , encontrar $DE$ .

Esto es lo que hice: Asumiendo que el radio del círculo es $r$ , $AD=DC=a$ , $AB=b$ y $BC=c$ descubrí que..:

- $a^2=2r^2$ y $b^2+ c^2 = 4r^2$ , utilizando $Pythagoras$

-Siguiente $ $ $[ABCD]= \frac {a²}{2} + \frac {bc}{2} $ .

Sustituyendo los valores, obtuve $b+c=4\sqrt6$ .

-Por último, tenemos $$[ABCD] = \frac {(b+c)(b+c)(2a+b-c)(2a+c-b)}{16} \\... using \ Brahmagupta \ Formula$$ Sustituyendo los valores, obtuve $bc=24$ $\Rightarrow$ $ b=c=2\sqrt6$ .

Estoy atrapado aquí.

¿Qué debo hacer ahora? Gracias.

Answer 1

Si $r$ es el radio del círculo, por el Teorema de Ptolomeo,

$AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$

$2r \cdot BD = (AB + BC) \cdot AD \tag1$

Como $AD = DC$ , $\angle ABD = \angle CBD = 45^ \circ$

Así que, $\angle AOD = 90^ \circ \implies AD = r \sqrt2$

Enchufar en $(1)$ ,

$BD = \cfrac{1}{\sqrt2} (AB + BC) \tag2$

El área del cuadrilátero es,

$\cfrac{1}{2} (AB \cdot BD \sin 45^ \circ + BC \cdot BD \sin 45^ \circ) = 24$

$(AB+BC) \cdot BD = 48 \sqrt2 \tag3$

Desde $(2)$ y $(3)$ vemos fácilmente que $BD = 4 \sqrt3$ y luego $DE = BD \sin 45^0$

Answer 2

Bueno, creo que tienes la respuesta justo ahí. si el tienes que $b=c=2\sqrt6$ .entonces tienes que el ABCD es en realidad un cuadrado . si tratas de trazar este escenario en la figura se vuelve bastante claro .

E incluso si no quieres hacer eso, sólo tienes que introducir los valores de b y c en la relación anterior de

$ 24 = \dfrac{a^2}{2} + \dfrac{bc}{2} $

y obtendrá $a=b=c=2\sqrt6$ . y tienes el cuadrado inscrito en el círculo lo que implicaría que el punto A coincide con el punto E y

$DE = DA = a = 2\sqrt6 $ .

Gracias por el conocimiento de la fórmula Brahmagupta . No la conocía antes. ¿Podría proporcionar la derivación de la misma? Intenté encontrarla pero no pude conseguirla en ningún sitio. Espero que esto haya servido de ayuda. Soy nuevo en MSE.