Quiero ir sobre la prueba de que, dado el espacio de estado $\Omega$ y eventos $A$ y $B$ , si $A$ y $B$ son eventos no triviales ( $|A| \neq 0 \wedge |A| \neq |\Omega| \wedge |B| \neq 0 \wedge |B| \neq |\Omega|$ ) y son independientes, entonces sabemos que $|\Omega|$ debe ser un número compuesto. Consideré construir esta prueba partiendo de la suposición de independencia, es decir $$P(A \cap B) = P(A)P(B).$$ Puedo ampliar esto fácilmente para que sea el caso de que $$P(A \cap B) = \frac{|A \cap B|}{|\Omega|} = P(A)P(B) = \frac{|A|}{|\Omega|} \frac{|B|}{|\Omega|}$$ $$\implies \frac{|A \cap B|}{|\Omega|} = \frac{|A||B|}{|\Omega|^2}.$$ Tengo la sensación de que puedo aplicar algún tipo de resultado sobre las propiedades de $\Omega,$ pero no estoy seguro de a dónde ir a partir de aquí. Cualquier ayuda sería muy apreciada.
Respuesta
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Supongo que estamos bajo el supuesto de que $|\Omega|$ es finito.
Además, sus cálculos ( $P(A)=|A|/|\Omega|$ ) suponen que todos los estados tienen la misma probabilidad, lo que no has dicho explícitamente.
Sus cálculos muestran $|\Omega|=|A||B|/|A \cap B|$ . Tenga en cuenta que $|A \cap B| \le \min(|A|,|B|)$ . Por lo tanto, si $|\Omega|$ es primo, entonces $|A \cap B|=|A|$ y $|\Omega|=|B|$ o $|A \cap B| = |B|$ y $|\Omega|=|A|$ contradiciendo su suposición de que $A$ y $B$ no son triviales.
