Cada presheaf es un colímite de representables utilizando el cómputo puntual de colímites

Question

Dejemos que $C$ sea una categoría pequeña y que $F \in \text{Fun}(C^{op}, \text{Set})$ sea un presheaf.

Intento demostrar que es un colímite de representables utilizando el hecho de que los colímites en las categorías de funtores se calculan punto a punto.

---

Definir una categoría de comas $D$ con pares de objetos $(x,y)$ donde $x \in C$ y $y \in F(x)$ y mapas $(x_1, y_1) \to (x_2, y_2)$ son mapas $f: x_1 \to x_2$ tal que $F(f)(y_2) = y_1$ .

Consideremos un functor $P: D \to C$ tal que $P((x,y)) = x$ .

Nuestro objetivo es mostrar $\text{colim}_{D}(Y \circ P) \cong F$ .

Definir un functor $G: C^{op} \to \text{Fun}(D, \text{Set})$ por $G(x)((x_1,y_1)) = [Y\circ P]((x_1,y_1))(x) = \text{Hom}(x,x_1)$ .

Como los colímetros se calculan por puntos:

$\text{colim}_D(Y \circ P)(x) = \text{colim}_DG(x)$ .

Así que, si podemos $\text{colim}_DG(x) = F(x)$ para cada $x \in C$ estaríamos acabados.

Arreglar $x \in C$ . Es muy fácil demostrar que $F(x)$ con mapas $\psi_i: \text{Hom}(x, x_i) \to F(x)$ dado por $\psi_i(g) = F(g)(y_i)$ para las parejas $(x_i,y_i) \in D$ da un cocón en $D$ .

No puedo encontrar una manera de demostrar que es universal. También he considerado el isomorfismo $F(x) \cong \text{Hom}(Y(x), F)$ dado por el lema de Yoneda, en vano. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

He modificado ligeramente su notación. $x_0$ es el punto en lugar de $x$ y $\psi$ está indexado por pares $x,y$ en $D$ .

Para demostrar la universalidad, se quiere suponer que para cualquier conjunto $S$ con un cocón de mapas $\psi_{x,y}' : \newcommand\Hom{\operatorname{Hom}}\Hom(x_0,x)\to S$ se puede construir un mapa único $\alpha : F(x_0)\to S$ .

Entonces, dado $y\in F(x_0)$ , defina $\alpha(y)=\psi_{x_0,y}'(\newcommand\id{\operatorname{id}}\id_{x_0})$ .

Entonces comprobamos que $\alpha \circ \psi_{x,y} = \psi'_{x,y}$ .

Supongamos que $g\in \Hom(x_0,x)$ entonces $\psi_{x,y}(g) = F(g)(y)$ .

Entonces $$\alpha(\psi_{x,y}(g)) = \alpha(F(g)(y))=\psi'_{x_0,F(g)(y)}(\id_{x_0}).$$

Obsérvese que dado $g\in \Hom(x_0,x)$ , $g$ define un morfismo entre los pares $(x,y)$ y $(x_0,F(g)(y))$ por definición, por lo que debemos tener $\psi'_{x_0,F(g)(y)} = \psi'_{x,y}\circ g_*$ .

Así, $\alpha(\psi_{x,y}(g)) = \psi'_{x,y}(g_*\id_{x_0}) = \psi'_{x,y}(g)$ , según se desee.

En cuanto a la unicidad, supongamos $\beta$ eran otro mapa apropiado $F(x_0)$ a $S$ .

Entonces, como $y = \id_{F(x_0)}y = F(\id_{x_0})y = \psi_{x_0,y}(\id_{x_0})$ para cualquier $y\in F(x_0)$ tenemos $\beta(y) = \beta(\psi_{x_0,y}(\id_{x_0}))=\psi'_{x_0,y}(\id_{x_0}) = \alpha(y)$ . Así, $\alpha$ es único.