¿Cómo muestrear de una distribución para que la media de las muestras sea igual al valor esperado?

Question

Dada una variable aleatoria $X$ ¿Cómo puedo obtener $N$ Variables aleatorias de $X$ para que el valor medio de mis muestras sea igual al valor esperado de $X$ ?

Por ejemplo, dejemos $X$ tienen una distribución uniforme en el intervalo $[0, 1]$ y dibujar $N = 10000$ muestras. Podemos hacerlo en R utilizando:

set.seed(5)
tmp_vec <- runif(10000, 0, 1)

Sin embargo, mean(tmp_vec) devuelve 0.5018471 . Me gustaría que la media fuera de 0,5, coincidiendo con el valor esperado. ¿Debo reescalar los valores muestreados de tmp_vec ?

Answer 1

En un pregunta relacionada, cómo simular una muestra aleatoria iid $(X_1,\ldots,X_n)\sim f$ bajo la restricción de que su suma $X_1+\cdots+X_n$ se fija en un valor arbitrario $s_0$ , I mostró que la densidad de esa muestra viene dada por $$(X_1,\ldots,X_n)\sim f(x_1)\cdots f(x_{n-1})f(s_0-x_1-\cdots-x_n)\mathbb{I}_{s_0-x_1-\cdots-x_{n-1}}(x_n)$$

Nota: Bajo la restricción la muestra ya no es independiente pero las observaciones se distribuyen idénticamente, a pesar de la aparente asimetría en lo anterior.

Por ejemplo, una muestra uniforme con media fija $0.5$ tendría la densidad conjunta $$(U_1,\ldots,U_N)\sim \prod_{i=1}^{N-1}\mathbb{I}_{(0,1)}(u_i)\mathbb{I}_{1/2}(u_1+\cdots+u_N)$$ que puede simularse mediante el muestreo de Gibbs u otro algoritmo MCMC como el RWMH. Cuando se utiliza el muestreo de Gibbs, el $N-1$ Las primeras coordenadas de la muestra se pueden simular de una en una con $$U_i|U_{-i}\sim \mathbb{I}_{(0,1)}(u_i) \mathbb{I}_{(0,1)}(s_0-u_1-\cdots-u_i-\cdots-u_{n-1})=\mathbb{I}_{(\max\{0,s_0-1-\sum_{j\ne i,n}u_j\},\min\{1,s_0-\sum_{j\ne i,n}u_j\})}(u_i)$$ Una implementación en R se parece a este código:

n=3;T=1e4
s0=.5 #fixed average
sampl=matrix(s0,T,n)
for (t in 2:T){
 sampl[t,]=sampl[t-1,]
 for (i in 1:(n-1)){
  sampl[t,i]=runif(1,
  min=max(0,n*s0-sum(sampl[t,c(-i,-n)])-1),
  max=min(1,n*s0-sum(sampl[t,c(-i,-n)])))
 sampl[t,n]=n*s0-sum(sampl[t,-n])}}

con los siguientes marginales en el $U_i$ 's:

Nota: Se puede modificar fácilmente el código R anterior para imponer una media de $s_0=0.05$ o $s_0=0.975$ en la muestra.

Answer 2

No estoy seguro de que pueda conseguirlo. runif es un generador de números pseudoaleatorios que produce variables aleatorias distribuidas uniformemente. No produce variables aleatorias con una mu exacta que sea igual a la especificada. 0,0518 es una mu bastante buena. Lo mismo ocurre con la familia de funciones rnorm , rexp , rpois etc.

pero prueba esto, debería funcionar:

runif2<-function(n,min,max){((min+max)/2)+sqrt((max-min)/12)*scale(runif(n))}
r <- runif2(100,0,1)
mean(r) #0.5

Sólo hay que tener en cuenta que esta muestra es ahora diferente de runif porque usaste "escala". No tiene las mismas propiedades que tu distribución original y puede o no pasar las pruebas de aleatoriedad.

Answer 3

Sólo una muestra de tamaño infinito garantizaría un resultado exacto y eso no es posible. Sin embargo, se puede establecer un límite sobre la proximidad a la media "real" que se desea obtener o sobre cuál es la menor desviación que se está dispuesto a aceptar en el 95% de los casos. La clave es el error estándar de la media.

$SE = \frac{s}{sqrt(n)}$

siendo s la desviación estándar (para grandes $n$ no tiene mucho sentido distinguir entre muestra de distribución) se puede resolver que a

$n=(\frac{s}{SE})^2$

y así calcular el número mínimo de cualquier error estándar que está dispuesto a aceptar.

La Wikipedia es bastante buena en esta entrada: https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_error