¿Problema de principio de encasillamiento?

Question

Demostrar que para cualquier $n+1$ enteros $a_1,a_2,...,a_{n+1}$ existen dos enteros $a_i$ y $ a_j$ con $i\neq j$ , de tal manera que $a_i-a_j$ es divisible por n.

¿Cómo se puede demostrar esto? Si tengo $n=5$ entonces habría $5$ enteros $1,2,3,4,5$ y su diferencia siempre será una.

Pero como hay más enteros que restos porque $n=5$ sólo puede tener $4$ restos.

Esto significa que dos enteros deben tener el mismo resto. Entonces, ¿esto significa que pueden ser divididos por el mismo número $n$ ?

Answer 1

Si tiene $n=5$ entonces tendrá seis enteros ( $n+1=6$ ), así que por comodidad vamos a suponer $n=4$ y seguir el ejemplo que has dado donde los números son $1, 2, 3, 4, 5$ .

Para entender bien el problema, hay que darse cuenta de que se puede tomar la diferencia entre cualquier par de números, y no sólo los que son adyacentes.

Aquí hay diferencias $5-4=4-3=3-2=2-1=1$ que usted señala en su pregunta. Pero también tiene $5-3=4-2=3-1=2$ y $5-2=4-1=3$ y finalmente $5-1=4$ que es divisible por $n=4$ .

Tienes razón al pensar en los restos que obtienes después de dividir por $n$ . ¿Qué puedes decir de la diferencia entre dos números que dejan el mismo resto?

Creo que tienes todas las piezas en tu pregunta, sólo tienes que asegurarte de que tienes las ideas claras para juntarlas en el orden correcto.