¿Puede la suma de dos raíces de la unidad ser una raíz de la unidad?

Question

Dejemos que $p$ sea primo, y $z_0, z_1, ..., z_{p-1}$ ser todos los $p$ -raíces de la unidad, es decir, soluciones de la ecuación $z^p = 1.$

¿Es cierto o falso que la combinación de dos (o más, en general) de las raíces puede darnos otra raíz del mismo orden?

En términos matemáticos, ¿existen índices $i_1,i_2,...,i_s, j,$ tal que $z_j = \sum_{k=1}^s z_{i_k}?$

Parece ser que esto no es posible, pero tampoco tengo pruebas de ello.

Gracias.

Answer 1

Si $p$ está destinado a ser primo, debe decirlo explícitamente. Asumiré que $p$ es primo. Entonces las sumas de los subconjuntos son distintas, excepto que la suma de todos los $p$ La raíz de la unidad es $0$ la suma sobre el conjunto vacío. Cualquier coincidencia de sumas de subconjuntos $\sum_{i \in I} \zeta_p^i = \sum_{j\in J} \zeta_p^j $ produce un polinomio de grado como máximo $p-1$ con coeficientes en $\lbrace-1,0,1\rbrace$ para que $\zeta_p$ es una raíz. Este polinomio debe ser un múltiplo del polinomio mínimo para $\zeta_p$ El $p$ el polinomio ciclotómico $\Phi_p(x) =1 + x + ... + x^{p-1}$ . Las únicas posibilidades son los múltiplos escalares correspondientes a $1 + \zeta_p + ... + \zeta_p^{p-1} = 0$ .

Answer 2

Verdadero. Para tres términos $1+i-i=1$ , todos los cuales son $4^{th}$ -raíz de $1$ . Para dos términos también se puede escribir $-\frac{1+\sqrt{3}i}{2}-\frac{1-\sqrt{3}i}{2}=-1$ , todos los cuales son $6^{th}$ -raíz de $1$ . Y así sucesivamente

Editar: Ahora que ha editado la pregunta y $p$ se convierte en primordial, hay una respuesta más general. Como Douglas señaló la palabra clave aquí es polinomios ciclotómicos $P_p(z)=\sum_{n=0}^{p-1}z^n$ cuyas raíces son precisamente las $p^{th}$ -raíz de la unidad excepto $1$ . En ese caso

$1+P(z_j)=1$

te da esa relación siempre y cuando $z_j\neq 1$ .

Answer 3

Se sabe que para todo entero positivo $n$ el primitivo $n$ -raíces de la unidad son linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$ si y sólo si $n$ es libre de cuadrar.