Existencia integral

Question

Si sabemos que $$\int_{\mathbb{R}_+}\frac{d|\mu|(t)}{t+1}<\infty,$$ ¿cómo puedo demostrar que $$\int_{\mathbb{R}_+}\frac{z}{1+tz}d\mu(t)<\infty$$ donde $z \in \mathbb{C}$ , $\mu$ ¿es una medida de radón compleja? En este caso, $|\mu|$ representa la variación total de la medida $\mu$ .

Tenía la siguiente pista: $$\frac{1}{1+tz}-\frac{1}{1+t}=\frac{t(1-z)}{1+tz}\frac{1}{1+t}.$$

Gracias a todos.

Answer 1

Esto no es cierto.

Considere $z = -1$ y $d\mu = - \chi_{(0,2)}(x) \, dx$ , donde $\chi_M$ es la función característica/la función indicadora del conjunto $M$ .

Entonces tenemos $d |\mu| = \chi_{(0,2)}(x) \, dx$ y por lo tanto

$$ \int_{\Bbb{R}_+} \frac{1}{1+t} \, d|\mu|(t) = \int_0^2 \frac{1}{1+t} \, dt< \infty, $$

pero

$$ \int_{\Bbb{R}_+} \frac{z}{1+tz} \, d\mu(t) = \int_0^2 \frac{1}{1-t} \, dt = \infty, $$ porque la singularidad en $t = 1$ no es integrable respecto a la medida de Lebesgue.