¿Fuerza de peso o fuerza de gravedad?

Question

Tomando el caso de un átomo de hidrógeno con las masas relativas del protón y del electrón la interacción eléctrica (módulo) $F^C$ es mucho más intensa que la interacción gravitatoria (módulo) $F^G$ (a escala microscópica): la gravitación debe verse como una interacción muy débil. Por lo tanto, la gravitación se ve como una interacción muy débil:

$$\frac{F^G}{F^C}\approx 4.4 \cdot 10^{-40}$$

Si $1$ y $2$ son dos esferas idénticas de masa $m$ asociados a la misma carga eléctrica $q$ (véase la imagen en lengua italiana),

están en equilibrio suspendidos de dos cables de longitud $\ell$ ,

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Figura 1

si $$m=\frac{k_0q^2\cos(\alpha)}{4\ell^2 g\sin^3(\alpha)} \tag 1$$

Mi pregunta es :

1. es un caso real si el sistema de cargas está en equilibrio considerando que la fuerza gravitacional $\mathbf{F}^G$ equilibrar la fuerza electrostática $\mathbf{F}^C$ (para ver los vectores de color en el Figura 1. )?
2. Si $\alpha \to 0$ entonces $m\to \infty$ . ¿Es posible considerar físicamente este caso, y qué puedo escribir?

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Prueba de la $(1)$ (fuera de la cuestión para mis estudiantes de una escuela secundaria) :

Si considero la fuerza gravitacional he encontrado que:

$$m=\frac{k_0q^2}{4\ell^2 g\sin^2(\alpha)} \tag2$$

donde $F^G=F^C \iff Gm^2=k_0q^2$ con $g=Gm/(2r)^2$ . Por lo tanto, $g\cdot 4r^2=Gm$ y $m(g\cdot 4r^2)=k_0q^2$ después tendré, siendo $r=\ell \sin(\alpha)$ ,

$$m=\frac{k_0q^2}{4gr^2}=\frac{k_0q^2}{4g\ell^2\sin^2(\alpha)}$$

Ser $(1)\neq (2)$ He tomado la fuerza del peso $\mathbf{P}$ en lugar de la fuerza gravitacional $\mathbf{F}^G$ como esta figura:

Figura 2

donde

\begin{cases} T_y-mg=0 \iff & T_y=P=mg\\ T_x-F^C=0 \iff & T_x=F^C \end{cases}

Después de $$\tan(\alpha)=\frac{T_x}{T_y}=\frac{F^C}{mg}=\frac{\frac{k_0q^2}{4r^2}}{mg} \iff m=\frac{k_0q^2}{4gr^2\tan(\alpha)}=\frac{k_0q^2\cos(\alpha)}{4\ell^2 g\sin^3(\alpha)}$$ recordando que $r=\ell \sin\alpha$ .

Answer 1

Ok, el caso es muy. En realidad, el objetivo del ejercicio es encontrar para qué masa $m$ de las dos esferas para que en el sistema en equilibrio presente la configuración de la imagen. Así, este caso existe si se da una carga $q$ a una esfera (y también $q$ a la otra), suspendidos por cables de longitud $\ell$ , ambas esferas de masa $$\frac{k_0q^2\cos \alpha}{4\ell^2 g\sin^3\alpha}$$

En cuanto a la segunda pregunta La idea es que si no cambias $q$ entonces $F^C$ (la fuerza repulsiva de Coulombi) es constante. El límite $\alpha\rightarrow0$ significa que las dos esferas se están cerrando, así que es porque se aplica una tercera fuerza que mueve las dos esferas cerradas, o porque la fuerza gravitacional $P=mg$ es creciente (por lo que a medida que la masa aumenta, prevalece sobre la fuerza $F^C$ (que se unen a las esferas). La razón es que en el equilibrio $$gm\tan\alpha=F^C=c=\text{constant}\rightarrow m=\frac{c}{g\tan \alpha}$$ así como $\alpha\rightarrow0$ , entonces el factor $\tan\alpha$ converge a cero, por lo que $gm$ debe divergir a $\infty$ para que $gm\tan\alpha$ es el valor constante $c$ .