Mostrar la dirección fija de un vector de posición

Question

Me encontré con esta pregunta en la preparación de mi examen de mitad de semestre:

Supongamos que $m(t)$ donde t es el parámetro, $t ∈ \mathbb{R}$ es un vector de posición con el propiedades siguientes: $$m(t) \times \frac{dm(t)}{dt} = 0$$ Prueba de que este vector tiene una dirección fija.

No tengo ni idea de cómo enfocar esta cuestión, cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Método 1: Intuición geométrica

Para cualquier vector $a,b\in\mathbb{R}^3$ tenemos que $a\times b = 0$ sólo si

• $a=0$ o $b=0$
• $a||b$ o $a||-b$

Aquí $a=m(t)$ y $b=m'(t)$ . Entonces:

• Si $m(t)=0$ entonces la dirección nunca cambia (la posición es siempre cero)
• Si $m'(t)=0$ entonces el vector tangente nunca cambia (es decir, siempre apunta en la misma dirección), por lo que la curva debe ser una línea recta, alineada con $m'(t)$ .
• Si el $m$ y $m'$ son paralelos (o antiparalelos) entonces la curva debe ser de nuevo una línea, ya que el vector de posición debe estar siempre alineado con el vector tangente (si la curva ha girado alguna vez, $m$ y $m'$ ya no estaría alineado).

Por lo tanto, la línea debe ser recta, y así la dirección nunca cambia.

---

Método 2: Definición de la curvatura

Por definición, la curvatura de una curva espacial se puede escribir: $$\kappa = \frac{|| T(t) \times T'(t) ||}{|| T'(t) ||^3}$$ donde $T(t)=m'(t)$ . Pero, se da que $T(t) \times T'(t) = 0$ .

Por lo tanto, $\kappa=0$ . Por lo tanto, la curva debe ser recta, porque cualquier flexión (es decir, cambio de dirección) le daría una curvatura distinta de cero.

(Nota: como la normal unitaria viene dada por $N(t)=T'(t)/||T'(t)||=m''(t)/||m''(t)$ cuando parametrizamos por arclength, esto es equivalente al comentario anterior que sugiere demostrar que $m''(t)=0$ . Ver también este . Y sí, sé que es lo mismo que la parte 3 del método 1 también).