¿Son las bisectrices perpendiculares de una $n$ -¿Gon concurrente? Si es así, ¿cómo demostrarlo?

Question

¿Son las bisectrices perpendiculares de una $n$ -¿Gon concurrente? Si es así, ¿cómo demostrarlo?

Answer 1

Sugerencia ¿Qué significa que todas las bisectrices perpendiculares de un $n-$ gon $A_1A_2...A_n$ para ser concurrente en $P$ ?

Bueno, significa que todos los segmentos $PA_1, PA_2, ..., PA_n$ son iguales en longitud. ¿Por qué?

Obsérvese que los triángulos $\triangle A_1A_2P, \triangle A_2, A_3P...$ son todos isósceles ya que $P$ se encuentra en su bisectriz perpendicular. Que todos sean isósceles significa que $$A_1P=A_2P\quad A_2P=A_3P\quad A_3P=A_4P...\implies A_1P=A_2P=A_3P=A_4P=...$$

$P$ es, por tanto, el circuncentro de la $n-$ gon.

Pero esto sólo es posible si el polígono es $\color{blue}{cyclic}$