No encuentro el error en esta prueba de que la línea afín está desconectada

Question

Como sugiere el título, no consigo encontrar el error en esta "prueba" de que la línea afín está desconectada.

Dejemos que $X = \mathbb{A}_{\mathbb{C}}^1$ y considerar el elemento $(x - 1) \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)$ y luego por uno de los ejercicios en Hartshorne, $\text{Supp }(x - 1) = \{P \in X | (x - 1)_P \neq 0 \}$ es un conjunto cerrado. Este es el conjunto $\mathbb{A}_{\mathbb{C}}^1 \backslash \{1\}$ . Entonces éste también sería un conjunto abierto, ya que el conjunto $\{1\}$ corresponde al ideal máximo $(x - 1) \in \mathbb{C}[x]$ . Esto demuestra que $\mathbb{A}_{\mathbb{C}}^1$ está desconectado.

Answer 1

En la definición de apoyo, $(x-1)_P$ denota el germen de $x-1$ en $\mathcal{O}_{X,P}$ , no la imagen en el campo de residuos en $P$ . Concretamente en este caso, eso significa la imagen de $x-1$ en la localización de $\mathbb{C}[x]$ en el primer $P$ en lugar de la imagen de $x-1$ en el cociente $\mathbb{C}[x]/P$ . Con esta definición, el apoyo de $x-1$ es en realidad todo $\mathbb{A}^1_\mathbb{C}$ ya que su imagen no es $0$ en cualquier localización de $\mathbb{C}[x]$ (de hecho, ya que $\mathbb{C}[x]$ es un dominio, el mapa de $\mathbb{C}[x]$ a cualquier localización que no invierta $0$ es inyectiva).