¿Cómo se amplía la restricción de $M$ se relacionan con $M$ ?

Question

Dejemos que $A,B$ ser anillos, $f:B\to A$ sea un homomorfismo de anillo, y $M$ ser un $A$ -módulo. Podemos ver $M$ como $B$ -a través de la restricción, y entonces podemos extender la restricción de $M$ a un $A$ -módulo considerando $A\otimes_B M$ . Mi pregunta se refiere a cómo $A\otimes_B M$ se refiere a $M$ .

Parece que hay un surjetivo $A$ -homomorfismo de módulo $A\otimes_B M\to M$ pero que este homomorfismo no siempre es inyectivo. Me gustaría entender el núcleo de este morfismo. En particular, estoy buscando las condiciones generales en las que el núcleo es la ecuación a la $A$ -torsión de $A\otimes_B M$ .

¿Existen situaciones conocidas en las que esto ocurra? No tengo ningún problema en asumir propiedades como $A,B$ siendo dominios integrales noetherianos, $M$ siendo generada finitamente, etc. También agradecería un ejemplo sencillo en el que $M$ aún no tiene torsión $A\otimes_B M$ lo hace.

Answer 1

Hay una secuencia natural corta y exacta de $(A, A)$ -bimódulos

$$0 \to I \to A \otimes_B A \xrightarrow{m} A \to 0$$

donde $m$ es el mapa de multiplicación y $I$ es su núcleo. Geométricamente (en el caso de que todo sea conmutativo), $I$ es el ideal que recorta la diagonal relativa $\Delta : \text{Spec } A \to \text{Spec } A \times_{\text{Spec } B} \text{Spec } A$ .

Tensando esta corta secuencia exacta con una izquierda arbitraria $A$ -Módulo $M$ y utilizando el isomorfismo $A \otimes_B A \otimes_A M \cong A \otimes_B M$ produce una corta secuencia exacta de la izquierda $A$ -módulos

$$0 \to I \otimes_A M \to A \otimes_B M \to M \to 0$$

desde $\text{Tor}_1(A, M) = 0$ . Así que el núcleo es precisamente $I \otimes_A M$ . Esto siempre desaparece si el mapa de multiplicación $m$ es un isomorfismo, lo que ocurre por ejemplo si (permítanme restringirme al caso conmutativo por seguridad) $A$ es un cociente o localización de $B$ . En general, si $A$ y $B$ son conmutativos, el mapa de multiplicación $m$ al ser un isomorfismo también es equivalente al mapa $f : B \to A$ siendo un epimorfismo de anillos conmutativos.

Hay muchas otras cosas que decir aquí pero no estoy seguro de lo que te interesa. Puedes pensar en el mapa $A \otimes_B M \to M$ como el condominio de la unión natural entre $A$ -módulos y $B$ -módulos dados por restricción y extensión de escalares. Como tal, forma parte de la estructura de una comónada inducida en $A$ -que pueden utilizarse para estudiar la cuestión de cuándo un $A$ -módulo desciende a un $B$ -módulo. En esta configuración el mapa de multiplicación $m$ ser un isomorfismo es equivalente a que el conit sea un isomorfismo, lo que equivale a que el adjunto derecho (restricción de escalares) sea totalmente fiel.

Answer 2

Supongamos que $A,B$ son dominios integrales y $M$ está generada finitamente. Sea $K$ sea el núcleo del mapa $A\otimes_B M\to M$ . Si $M$ es libre de torsión como un $A$ -módulo, siempre tenemos que $K$ contiene el $A$ -torsión de $A\otimes_B M$ . Para la inclusión inversa, dejemos que $\mathbb{k}$ sea el campo de fracciones de $A$ . Tensar el SES $$0\to K \to A\otimes_B M \to M \to 0$$ con $\mathbb{k}$ produce el SES $$0\to \mathbb{k}\otimes_A K\to \mathbb{k}\otimes_B M\to \mathbb{k}\otimes_A M\to 0$$ desde $\mathbb{k}$ es un piso $A$ -módulo. Ahora por nulidad de rango, $\mathbb{k}\otimes_A K$ es cero si $\mathbb{k}\otimes_B M$ y $\mathbb{k}\otimes_A M$ tienen la misma dimensión que $\mathbb{k}$ espacios vectoriales, es decir, si $\text{rank}_A M=\text{rank}_B (M|_B)$ . Además, $\mathbb{k}\otimes_A K$ es cero si $K$ es una torsión $A$ -módulo.