Como ya sabéis, soy un novato en el álgebra lineal. Se supone que debo demostrar que para toda función lineal entre espacios vectoriales para cada entrada, la fibra de la salida correspondiente es igual a el subespacio afín que es igual a la traslación del núcleo por la entrada. En otras palabras, se supone que debo demostrar lo siguiente $\dots$
$\textbf{Theorem}$ . Sea $f$ sea una función lineal entre espacios vectoriales. Para cada entrada $v$ , $$f^{-1}\big( f(v) \big) = \{v + v' \mid v' \in \mathrm{ker} f \}.$$
$\dots$ y escribí la siguiente prueba. ¿Podría comentar y criticar?
$~$
$\textit{Proof}$
Con respecto a la identidad anterior, denotamos el lado izquierdo por \begin{equation*} L := f^{-1}\big( f(v) \big).\quad\quad\quad\quad \end{equation*} Del mismo modo, denotamos el lado derecho por \begin{equation*} R := \{v + v' \mid v' \in \mathrm{ker} f \}. \end{equation*} Queda por demostrar que $L = R$ . Lo hacemos en dos pasos: primero, demostramos $L \subset R$ ; En segundo lugar, demostramos $R \subset L$ . Tenga en cuenta: $v$ denota una entrada arbitraria de $f$ .
Paso 1 . Sea $x \in L$ . En este paso, queda por demostrar que $x \in R$ . Trivialmente, tenemos $f(x) = f(v)$ . Así, $f(x) - f(v) = 0$ . Desde $f$ es lineal, tenemos $f(x) + f(-v) = 0$ , y finalmente tenemos $f(x - v) = 0$ . Así que trivialmente, $x - v \in \mathrm{ker} f$ . Por lo tanto, con respecto a $R$ podemos elegir $v' = x - v$ . Por lo tanto, $R$ contiene un elemento $v + v' = v + x - v = x$ . En otras palabras, $x \in R$ . Con esto concluye el paso 1.
Paso 2 . Sea $x \in R$ . En este paso, queda por demostrar que $x \in L$ . Trivialmente, tenemos $x = v + v'$ para algunos $v' \in \mathrm{ker} f$ . Así, $f(x) = f(v + v')$ . Desde $f$ es lineal, tenemos $f(x) = f(v) + f(v')$ . Desde $v'$ está en el núcleo, $f(v') = 0$ . Así, $f(x) = f(v)$ . Así que trivialmente, $x \in L$ . Con esto concluye el paso 2.
QED
