transformada de laplace mediante convolución intergral

Question

Luchando con la siguiente pregunta:

Evaluar la siguiente integral de convolución

cos(x)*cos(x)

cualquier ayuda sería muy apreciada, se ha dado la pista de usar la identidad del cos trig.

Answer 1

La pista del uso de las identidades trigonométricas es probablemente la siguiente $$\cos x*\cos x=\int_{\text{limits}^*}\cos (u')\cdot\cos(u-u')\,du'\\=\int_{\text{limits}}\cos u'(\cos u'\cos u+\sin u'\sin u)\,du'\\=\cos u\int_{\text{limits}}\cos^2u'\,du'+\sin u\int_{\text{limits}}\sin u'\cos u'\,du'$$ que pueden ser evaluados usando identidades relacionadas con $\cos2u'$ y $\sin2u'$ .

---

$*$ - He escrito $\text{limits}$ ya que no estoy seguro de qué regiones está definiendo $\cos u'$ en, así que supongo que puedes poner esto.