¿Debería estudiar más álgebra?

Question

Mi formación es de tercer año de matemáticas, incluyendo álgebra lineal y álgebra abstracta. Ahora estoy estudiando el álgebra conmutativa de Atiyah, pero le faltan algunos ejemplos concretos y fáciles y es demasiado breve para entender completamente este tema.

De hecho, creo que no me gusta el álgebra, y quiero estudiar otras áreas. Pero escuché que el álgebra es básica, por lo que hay que estudiar hasta cierto nivel de postgrado (álgebra conmutativa, geometría algebraica, etc.). ¿Es esto cierto?

De todos modos, hacer sólo álgebra es un poco aburrido. ¿Puede recomendar alguna rama interesante que sea adecuada para un estudiante de tercer año basada en geometría diferencial o ecuaciones diferenciales? Me interesaban esas clases.

Answer 1

Si dices que te han gustado las ecuaciones diferenciales pero que el álgebra te parece aburrida, te diría que leyeras el libro de Michio Kuga El sueño de Galois: Teoría de grupos y ecuaciones diferenciales que suena exactamente como lo que estás buscando.

Answer 2

Yo diría que el álgebra es una de las matemáticas más básicas, necesaria para todos los estudiantes de matemáticas graduados. Así que en respuesta a su pregunta: ¿es cierto que el álgebra es necesaria? - Yo digo que absolutamente (también digo que la topología y el análisis son necesarios... pero ese es otro tema).

Si sólo has cursado un semestre de lineal y un semestre de grupos/anillos/campos, entonces te recomendaría que miraras la Teoría de Galois. O, curiosamente, te recomendaría mirar la mecánica cuántica/pde, ya que el álgebra puede tener implicaciones interesantes allí.

Answer 3

Una acción más inmediata que podría considerar en su curso actual es complementar su texto de Atiyah con otros textos sobre álgebra conmutativa. Por ejemplo, mira algunas de las recomendaciones publicadas aquí sobre el tema.

A menudo he tenido que hacer eso en varios cursos, y siempre es útil tener textos de referencia a los que acudir para obtener ejemplos más concretos, o diferentes formas de enfocar una demostración, o para ayudar a motivar un nuevo concepto. Algunos textos pretenden ser precisos y concisos, por lo que pueden carecer de material expositivo, como los ejemplos. Otros textos pretenden ayudar a los alumnos a establecer conexiones entre los nuevos conceptos y el material que ya conocen, pero pueden carecer de precisión rigurosa. Cada uno tiene su propósito.

En cualquier caso, no sientas que tienes que limitarte a Atiyah! (Siéntete libre de saltar un poco para obtener explicaciones o ejemplos adicionales en otros lugares, hasta que desarrolles un sentido de propiedad del material, si eso tiene sentido). ¡Esto no quiere decir que debas abandonar Atiyah! Pero explorar un poco en otros lugares puede ayudarte a volver a la Atiyah con una nueva perspectiva.

Answer 4

Para los textos de álgebra conmutativa, véase Solicitud de referencia: introducción al álgebra conmutativa .

Para una aplicación interesante del álgebra, intente leer sobre teoría diferencial de Galois y la existencia de soluciones elementales para las ecuaciones diferenciales; véase por ejemplo ¿Cómo se puede demostrar que una función no tiene una integral de forma cerrada? mi respuesta contiene una lista de documentos y libros.

Otro uso importante del álgebra conmutativa, además de la geometría algebraica, es la teoría de números. Hay muchos libros excelentes sobre teoría algebraica de números; véase una lista aquí .

P.D.: Supongo que has visto los campos y la teoría de Galois. Si no es así, entonces este es definitivamente el camino a seguir.

Answer 5

Es cierto que todas las partes de las matemáticas utilizan algo de álgebra. Pero no hace falta estudiar álgebra conmutativa para aprender la definición de un módulo. Ya has tomado cursos de álgebra lineal y álgebra abstracta. Esto debería ser suficiente si no quieres aprender geometría algebraica o teoría de números algebraica.