Todos los teoremas sobre singularidades extraíbles son para funciones definidas en dominios abiertos $\Omega \in \mathbb{C}$ . Pero, ¿cuáles son los teoremas correspondientes para funciones definidas en superficies de Riemann? ¿En qué se diferencian y hay que tener en cuenta alguna cuestión adicional?
Respuesta
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Como se señala en los comentarios, para las superficies de Riemann se cumple la siguiente versión del Teorema de la Singularidad Removible de Riemann:
Teorema: Dejemos que $X$ sea una superficie de Riemann, y $f:X-\{p\}\to \mathbb{C}$ una función holomorfa. Si $f$ está acotado en alguna vecindad de $p$ entonces $f$ se extiende de forma única a una función holomórfica $f:X\to\mathbb{C}$ .
Esto se comprueba, como sugiere el comentario, trabajando algún disco coordiandor alrededor de $p$ y aplicando el Teorema de Riemann habitual.
Una generalización de esto a las variedades de mayor dimensión tiene varias formas posibles. La más general que conozco es Teorema de la extensión de Hartog . Este es un resultado mucho más profundo y tiene muchas implicaciones. Su análogo algebraico es muy útil también en la geometría algebraica.
