¿Dónde está el error en mi razonamiento?
Sea X un espacio métrico separable, entonces para cada $p\in [1,\infty)$ y por cada medida de borel $\mu$ en $X$ : $L^p_{\mu}(X)$ es separable. Por lo tanto, por un thoeroem de Willard $L^p_{\mu}(X)$ es homeomorfo a un espacio métrico totalmente contado $Y$ .
Además, como $L^p_{\mu}(X)$ es completa y el homeomorfismo preserva la completitud entonces $Y$ es un metaespacio completo y totalmente acotado. De ahí que $Y$ debe ser compacto. Como el homeomorfismo preserva la compacidad, entonces $L^p_{\mu}(X)$ es compacto.
Pero está claro que no es el caso, ya que no es secuencialmente compacto.
Mi pregunta es ¿en qué se equivocó mi razonamiento? Es que la delimitación total no se preserva por homeomorfismo; incluso entonces no usé realmente eso....
