Supongamos que $n\geq 2$ y dar $S^n$ la estructura CW con una $0$ -célula y una $n$ -célula. Entonces el $k$ -producto doblado $\prod^k S^n$ tiene naturalmente la estructura celular del producto con $k\choose r$ celdas de dimensión $r\cdot n$ para cada $0\leq r\leq n$ . En particular, su $n$ -el esqueleto tiene uno $0$ -célula y $k$ n-células y es precisamente el $k$ -cuña doble $\bigvee^k S^n$ .
Las siguientes celdas de $\prod^k S^n$ ocurren en la dimensión $2n$ por lo que, en particular, la inclusión de la $n$ -esqueleto
$$j:\bigvee^kS^n\hookrightarrow \prod^kS^n$$
es un $(2n-1)$ -mapa conectado. Como estamos trabajando bajo el supuesto de que $n\geq 2$ tenemos $2n-1\geq n+1$ y por tanto el mapa sobre grupos de homotopía inducido por $j$ es un isomorfismo de grado $n$
$$j_*:\pi_n\left(\bigvee^kS^n\right)\xrightarrow{\cong}\pi_n\left(\prod^kS^n\right).$$
La definición de $n$ -de un espacio, y más generalmente de un mapa, aparece en la sección 10.4 - El teorema de aproximación celular del libro de May. Al derivar el isomorfismo anterior no hemos utilizado ninguna maquinaria más avanzada que la teoría básica de CW, y si te sientes incómodo con algo aquí, entonces te sugeriría una lectura completa de ese capítulo.
Ahora se deduce directamente de las definiciones que
$$\tilde H'_n\left(\bigvee^kS^n\right)\stackrel{def}{=}\pi_n\left(\bigvee^kS^n\right)\xrightarrow{\cong}\pi_n\left(\prod^kS^n\right)\cong \bigoplus^k\pi_n(S^n)\stackrel{def}{=}\bigoplus^k\tilde H'_n(S^n)$$
es un grupo abeliano libre de rango $k$ . El segundo isomorfismo se deriva del hecho general de que $\pi_r(X\times Y)\cong\pi_k(X)\oplus\pi_k(Y)$ . Dado que el producto está finitamente indexado, se convierte en una suma directa en lugar de un producto en la categoría de grupos abelianos. Además este isomorfismo viene dado por el envío de una clase de homotopía $\alpha:S^n\rightarrow \prod^kS^n$ a la colección $(pr_a\circ\alpha)_{a\leq k}$ , donde $pr_a$ es la proyección sobre el $a^{th}$ factor. El punto de esto es que nos dice que $\pi_n\left(\prod^kS^n\right)$ es generado por las inclusiones $i_a:S^n\hookrightarrow\bigvee^kS^n\hookrightarrow \prod_kS^n$ y así $\tilde H'_n\left(\bigvee^kS^n\right)=\pi_n\left(\bigvee^kS^n\right)$ debe ser generada por las inclusiones $i_a:S^n\hookrightarrow\bigvee^kS^n$ . Aquí $i_a:S^n\hookrightarrow \bigvee^kS^n$ es la inclusión del $a^{th}$ sumando cuñas.
Ahora observa que hay un homeomorfismo canónico
$$\Sigma\left(\bigvee^kS^n\right)\cong \bigvee^k\Sigma S^n\cong \bigvee^kS^{n+1},$$
que es tal que $\Sigma i_a$ se identifica exactamente con la inclusión $i'_a:S^{n+1}\hookrightarrow \bigvee^kS^{n+1}$ de la $a^{th}$ sumando cuñas.
Ahora sigue asumiendo $n\geq 2$ volvemos al isomorfismo anterior y sustituimos $n$ con $n+1$ . Esto hace que $\tilde H'_{n+1}\left(\bigvee^kS^{n+1}\right)$ es abeliano libre de rango $k$ y es generado por las inclusiones
$$i'_a=\Sigma i_a$$
que están en la imagen del homeomorfismo de suspensión. Dado que el dominio de la suspensión $\tilde H'_n\left(\bigvee^kS^n\right)$ es abeliano libre de rango $k$ y lleva generadores a generadores, la suspensión es un isomorfismo. Por lo tanto, respondemos a su segunda pregunta.
Queda ahora por concluir el caso de $n=1$ . Primero se utiliza el teorema generalizado de Van Kampen para demostrar que el grupo fundamental de $\bigvee^kS^1$ es el $k$ -producto libre de pliegues $\pi_1(\bigvee^kS^1)\cong\ast^k\mathbb{Z}$ y se genera de nuevo por las inclusiones $i_a:S^1\hookrightarrow \bigvee^kS^1$ . La abelianización de este grupo es el grupo abeliano libre $\bigoplus^k\mathbb{Z}$ de rango $k$ y este grupo está generado por las imágenes de los generadores $i_a$ en el cociente $\pi_1(\bigvee^kS^1)_{ab}$ .
El punto de esto es que la suspensión
$$\Sigma: \pi_1\left(\bigvee^kS^1\right)\rightarrow\pi_2\left(\bigvee S^2\right)\cong\bigoplus^k\mathbb{Z}$$
en este caso no es un isomorfismo, sino una abelianización. Dada la definición $\tilde H'_1(\bigvee^kS^1)=\pi_1(\bigvee^kS^1)_{ab}$ vemos que incluso en este caso
$$\Sigma: \tilde H'_1\left(\bigvee^kS^1\right)\xrightarrow{\cong}\tilde H'_2\left(\bigvee S^2\right)\cong\bigoplus^k\mathbb{Z}$$
es un isomorfismo.
