Cómo resolver esta ecuación diferencial.

Question

Necesito resolver esta ecuación $\partial_x g=1 $ . Si en lugar de derivadas parciales tuviera la derivada total, haría la separación de variables y obtendría la respuesta.

¿Es hacer algo como $\int \partial g =\int \partial x$ correcto... ¿Podemos hacer esta separación, cuando las derivadas son parciales y no totales.

¿Existe el diferencial parcial? ¿Podemos integrar con respecto a una diferencial parcial.....

Answer 1

$$\partial_r (r e^{a(r) })=1$$ Simplemente da después de la integración: $$r e^{a(r)}=r+C$$ Ahora depende de cuál sea la segunda variable. Entonces $C$ es sólo una función de esa segunda variable. $$r e^{a(r)}=r+C(\theta)$$ Para la otra ecuación: $$\partial_x g(x,y)=1$$ $$\implies g(x,y)=x+C(y)$$ Donde $C(y)$ es cualquier finción de $y$ .

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Considere la ecuación como una ecuación diferencial ordinaria: $$\partial_x g=1$$ $$\dfrac {dg}{dx}=1$$ Integrar: $$\int dg=\int dx$$ $$g=x+C$$ Consideremos ahora la constante en función de la segunda variable: $$g(x,y)=x+C(y)$$

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$$\partial_r (r e^{a(r) })=1$$ Es como un DE ordinario: $$\dfrac {d (r e^{a(r) })}{dr}=1$$ $${d (r e^{a(r) })}=dr$$ Integrar: $$\int {d (r e^{a(r) })}=\int dr$$ $$r e^{a(r) }=r+C$$ Considere la constante $C$ en función de una segunda variable $\theta $ : $$r (e^{a(r) }-1)=C(\theta)$$